حساب الباقي عند القسمة: قوانين وتطبيقات (مسألة رياضيات)

نريد حساب قيمة $n$ في التعبير $11^5 \equiv n \pmod{9}$ حيث $0 \leq n < 9$.

لحساب هذا، يمكننا استخدام قاعدة فرما الصغرى. تقول هذه القاعدة إذا كان $a \equiv b \pmod{m}$ و $c \equiv d \pmod{m}$، فإن $a^c \equiv b^d \pmod{m}$.

لذا، لنقم بتحويل $11$ إلى $2$ لنحصل على حساب أسهل:

$11 \equiv 2 \pmod{9}$

الآن، يمكننا حساب $2^5$ والبقاء من القسمة على $9$، ثم نحصل على قيمة $n$:

$2^5 = 32$

الآن نحسب الباقي عند القسمة على $9$:

$32 \equiv 5 \pmod{9}$

إذاً، القيمة التي تحصل عليها $n$ هي $5$.

لحل المسألة واستنتاج قيمة $n$ في التعبير $11^5 \equiv n \pmod{9}$، نحتاج إلى فهم بعض القوانين والمفاهيم الرياضية المستخدمة، بالإضافة إلى خطوات الحل التفصيلية:

1. قاعدة فيرما الصغرى:
   قاعدة فيرما الصغرى تقول إنه إذا كان $a \equiv b \pmod{m}$، فإن $a^c \equiv b^c \pmod{m}$ حيث $c$ عدد صحيح.

2. تحويل الأساس:
   نستخدم تحويل الأساس لتبسيط الحسابات. في هذه المسألة، قمنا بتحويل $11$ إلى $2$ بمعرفة أن $11 \equiv 2 \pmod{9}$. هذا يجعل الحسابات أسهل.

3. حساب القيمة الأسية:
   قمنا بحساب $2^5$ للعثور على الناتج.

4. البقاء عند القسمة:
   نستخدم البقاء عند القسمة للحصول على القيمة المطلوبة $n$، حيث $n$ هو الباقي عند قسم $2^5$ على $9$.

الآن، نأتي إلى الحسابات:

1. $11 \equiv 2 \pmod{9}$ بمعنى أن عندما نقوم بقسم $11$ على $9$، يكون لدينا باقي يساوي $2$.
2. $2^5 = 32$.
3. الآن نقوم بحساب الباقي عند القسمة على $9$ للعدد $32$، ويتبين أنه يساوي $5$.
4. بالتالي، القيمة $n$ هي $5$.

بهذه الطريقة، نحصل على الإجابة التي تشير إلى أن $n = 5$ في التعبير $11^5 \equiv n \pmod{9}$.