حساب الباقي الموديولاري: مسألة تطبيقية (مسألة رياضيات)

إذا كان $173 \times 927 \equiv n \pmod{50}$، حيث $0 \leq n < 50$، فما هو قيمة $n$؟

لنقوم بحل المسألة:

نبدأ بحساب الضرب:
$173 \times 927 = 160,371$

الآن، لنحسب الباقي عند القسمة على 50:
$160,371 \div 50 = 3207 \text{ والباقي } 21$

إذاً، الباقي عند قسم $173 \times 927$ على 50 هو 21، لذلك $n = 21$.

لحل المسألة، نحتاج إلى استخدام مفهوم القسمة والباقي في الحساب الموديولاري، مع استخدام قوانين الجبر الخاصة بالموديولو.

المفهوم الأساسي هو أن العملية التي تقوم بتقسيم عدد على عدد معين وتحديد الباقي تعرف بالقسمة الموديولارية. وتُعبر عنها بشكل عام كما يلي:

$a \equiv b \pmod{m}$

هنا، $a$ و $b$ هما الأعداد التي يتم مقارنتها، و$m$ هو العدد الذي يتم قسمه عليه. إذا كانت $a$ و $b$ تساويان بعد القسمة على $m$، فإن الباقي هو نفسه.

في المسألة التي طُرحت، لدينا $173 \times 927$ ونحن نريد معرفة الباقي عندما يتم قسمه على 50.

لحساب الضرب $173 \times 927$، يمكننا استخدام الضرب الطويل التقليدي. بمجرد حساب الناتج، يمكننا استخدام قسمة الناتج على 50 لمعرفة الباقي.

القانون المستخدم في هذا الحل هو قانون القسمة الموديولارية، الذي ينص على أن الباقي عند قسم عدد على عدد آخر يمكن أن يكون في نطاق من 0 إلى (العدد الثاني – 1).

بعد حساب الناتج وتقسيمه على 50، يُعرض الباقي الناتج. في هذه الحالة، قيمة $n$ هي الباقي الذي يتراوح بين 0 و49، حيث أننا نقيم أن $0 \leq n < 50$.

المسألة بسيطة ولكنها تستند إلى مفاهيم الجبر الأساسية والحساب الموديولاري، والتي تستخدم في العديد من المجالات بما في ذلك علم الحاسوب وعلم الرياضيات والهندسة.