حساب الارتفاع الأقصى لكرة في حركة قوسية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية تتعلق بحساب أقصى ارتفاع لكرة تسير على مسار قوسي وصفت بالتعبير:

$h(t) = -16t^2 + 80t + 21$

حيث $t$ يمثل الزمن بعد الإطلاق. لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام الرياضيات وتقنيات الجبر والتفاضل والتكامل.

لحساب الارتفاع الأقصى، يجب أولاً أن نعرف متى يحدث هذا الارتفاع. وفي هذه الحالة، يحدث أقصى ارتفاع عندما يكون معدل التغيير في الارتفاع (الانحدار) يساوي صفر. بمعنى آخر، عندما تكون المشتقة الأولى للمعادلة $h(t)$ هي صفر:

$h'(t) = \frac{d}{dt} (-16t^2 + 80t + 21) = -32t + 80$

لحساب القيمة التي تجعل $h'(t)$ يساوي صفر، نقوم بحل المعادلة التالية:

$-32t + 80 = 0$

من هذه المعادلة، يتبين لنا أن $t = \frac{80}{32} = 2.5$ ثانية.

الآن، بعد أن عرفنا وقت حدوث الارتفاع الأقصى، يمكننا استخدام هذا الوقت لحساب ارتفاع الكرة في هذه اللحظة، وهو الارتفاع الأقصى. نستخدم المعادلة الأصلية:

$h(2.5) = -16(2.5)^2 + 80(2.5) + 21$

$= -16(6.25) + 200 + 21$

$= -100 + 200 + 21$

$= 121$

بالتالي، الارتفاع الأقصى للكرة هو 121 قدمًا.

لحل المسألة وحساب الارتفاع الأقصى للكرة التي تسير على مسار قوسي، نستخدم القوانين الأساسية للحركة القوية والتفاضل والتكامل. هذه القوانين تشمل:

1. معادلة الحركة: تستخدم لوصف حركة الجسم. في هذه المسألة، المعادلة المعطاة:
   $h(t) = -16t^2 + 80t + 21$

2. المشتقة الأولى: تستخدم لحساب معدل التغيير الفوري للدالة. في هذه المسألة، نحتاج إلى معرفة معدل التغيير في الارتفاع مع الزمن، أو المشتقة الأولى $h'(t)$.

3. نقطة الأقصى: يحدث الارتفاع الأقصى عندما تكون المشتقة الأولى مساوية للصفر.

4. التكامل: يستخدم لحساب المسافة أو المنطقة تحت المنحنى. في هذه المسألة، نستخدم التكامل لحساب الارتفاع الأقصى من المعادلة.

الآن، دعنا نقوم بتطبيق هذه القوانين:

1. حساب المشتقة الأولى $h'(t)$:
   $h(t) = -16t^2 + 80t + 21$
   $h'(t) = \frac{d}{dt} (-16t^2 + 80t + 21) = -32t + 80$

2. حل للمشتقة الأولى للعثور على نقطة الأقصى:
   $-32t + 80 = 0$
   $t = \frac{80}{32} = 2.5$ ثانية

3. حساب الارتفاع الأقصى باستخدام الوقت المحدد $t$:
   $h(2.5) = -16(2.5)^2 + 80(2.5) + 21$
   $= -16(6.25) + 200 + 21$
   $= -100 + 200 + 21$
   $= 121$ قدمًا

بالتالي، الارتفاع الأقصى للكرة هو 121 قدمًا.

تم استخدام القوانين المذكورة أعلاه لحساب الارتفاع الأقصى للكرة وفهم حركتها على المسار القوسي. تلك القوانين تمثل أساسيات الفيزياء والرياضيات في فهم وتحليل الحركة والتغير في الوقت.