حساب الاختيار: اختيار 4 من 6 (مسألة رياضيات)

عدد الطرق التي يمكن بها اختيار 4 كتب من رف يحتوي على 6 كتب، عندما لا يكون ترتيب اختيار الكتب له أهمية، يتم تحديده بواسطة الصيغة التالية:

$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

حيث:

• $n$ هو إجمالي عدد العناصر في المجموعة (عدد الكتب في الرف).
• $k$ هو عدد العناصر التي نقوم باختيارها (عدد الكتب التي نريد اختيارها).
• $!$ يرمز إلى عامل الضرب التسلسلي، ويمثل حاصل ضرب الأعداد من 1 إلى العدد المعني.

في هذه الحالة، يكون لدينا:

$C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6-4)!}$

الآن، لنقم بحساب القيم:

$C(6, 4) = \frac{6!}{4! \times 2!}$

$C(6, 4) = \frac{720}{24 \times 2}$

$C(6, 4) = \frac{720}{48}$

$C(6, 4) = 15$

إذاً، هناك 15 طريقة مختلفة لاختيار 4 كتب من بين 6 كتب على الرف، عندما لا يكون ترتيب الاختيار للكتب له أهمية.

بالطبع، سأقدم تفاصيل أكثر حول حل هذه المسألة والقوانين المستخدمة.

القانون المستخدم في هذه المسألة هو قانون الجمعيات أو مبدأ الاختيار، والذي يعبر عن عدد الطرق الممكنة لاختيار $k$ عنصرًا من بين مجموعة تحتوي على $n$ عنصر. صياغة هذا القانون هي:

$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

حيث:

• $n!$ يمثل عامل الضرب التسلسلي للأعداد من 1 إلى $n$.
• $k!$ يمثل عامل الضرب التسلسلي للأعداد من 1 إلى $k$.
• $(n-k)!$ يمثل عامل الضرب التسلسلي للأعداد من 1 إلى $n-k$.

في حل المسألة:

1. لدينا مجموعة من 6 كتب ($n = 6$).
2. نريد اختيار 4 كتب ($k = 4$).
3. نستخدم صيغة الجمعيات $C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6-4)!}$ لحساب عدد الطرق الممكنة.

الآن، سأقوم بتفصيل الحسابات:
$C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6-4)!}$

$C(6, 4) = \frac{6!}{4! \times 2!}$

$C(6, 4) = \frac{720}{24 \times 2}$

$C(6, 4) = \frac{720}{48}$

$C(6, 4) = 15$

إذاً، هناك 15 طريقة مختلفة لاختيار 4 كتب من بين 6 كتب على الرف، حيث لا يهم ترتيب اختيار الكتب.

يمكن وضع قوانين الجمعيات أو قوانين الاختيار في سياق أوسع، مثل في حسابات الاحتمالات والتوزيعات الإحصائية. تساعد هذه القوانين في فهم وتحليل الطرق الممكنة للحدث في سياقات متنوعة.