حساب الاختيارات: تطبيق $\dbinom{6}{3}$ (مسألة رياضيات)

قيمة $\dbinom{6}{3}$ تمثل عدد الطرق التي يمكن بها اختيار مجموعة من 3 عناصر من بين مجموعة تحتوي على 6 عناصر. تُعبر هذه القيمة عن عدد الترتيبات المختلفة التي يمكن الحصول عليها عند اختيار مجموعة مكونة من 3 عناصر من مجموعة مكونة من 6 عناصر.

لحساب قيمة $\dbinom{6}{3}$، يمكن استخدام الصيغة التالية:
$\dbinom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n – k)!}$
حيث $n!$ تمثل عامل التجزئة للعدد $n$ ويُعرف بالقيمة $n$ مضروبة في جميع الأعداد الصحيحة الأقل منه، والرمز $\dbinom{n}{k}$ يُعرف بمعامل الاختيار ويُستخدم لتمثيل عدد الطرق لاختيار مجموعة محددة من $k$ عناصر من بين مجموعة تحتوي على $n$ عنصر.

لحساب $\dbinom{6}{3}$:
$\dbinom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6 – 3)!}$
$= \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1}$
$= \frac{120}{6}$
$= 20$

لذا، قيمة $\dbinom{6}{3}$ هي 20.

لحساب قيمة $\dbinom{6}{3}$، نستخدم مفهوم الجمعات والترتيبات والقوانين المتعلقة بالمثلثات النمطية في الجبر والمفاهيم الأساسية للعدد الكبير.

1. قانون الجمعات: يُمثل هذا القانون الفكرة الأساسية لاختيار عدد محدد من العناصر من بين مجموعة. في حالتنا، نحن نحتاج إلى اختيار مجموعة تتألف من 3 عناصر من بين 6 عناصر مختلفة.

2. قوانين المثلثات النمطية في الجبر:

   • $n!$ يُمثل العامل التجزئة للعدد $n$ ويتمثل في ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجودة قبل $n$.
   • $\dbinom{n}{k}$ تُمثل عدد الطرق المختلفة التي يمكن اختيار مجموعة من $k$ عناصر من بين مجموعة تحتوي على $n$ عنصر.

لحساب $\dbinom{6}{3}$، نقوم بتطبيق القانون المذكور ونستخدم الصيغة:
$\dbinom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n – k)!}$

حيث:

• $n$ هو عدد العناصر الإجمالي في المجموعة (6 في حالتنا).
• $k$ هو عدد العناصر التي نريد اختيارها (3 في حالتنا).
• $n!$ هو عامل التجزئة لـ $n$.
• $k!$ هو عامل التجزئة لـ $k$.
• $(n – k)!$ هو عامل التجزئة للفرق بين $n$ و $k$.

بعد حساب القيم، نجد أن قيمة $\dbinom{6}{3}$ هي 20، مما يعني أن هناك 20 طريقة مختلفة لاختيار مجموعة تتألف من 3 عناصر من بين 6 عناصر مختلفة.