حساب الاحتمالات في رمي النردات (مسألة رياضيات)

عند رمي ثلاثة نردات قياسية، يتم الحصول على الأعداد $a، b، c$. الهدف هو إيجاد احتمال حدوث الحالة $abc = X$. إذا كنا نعلم أن الإجابة على هذا السؤال هي $\frac{1}{216}$، فما هو قيمة المتغير المجهول X؟

للإجابة على هذا السؤال، دعونا نقوم بتحليل المشكلة بعناية. لنتذكر أن هناك 6 وجوه مختلفة للنرد، وبالتالي هناك 6 أرقام ممكنة يمكن أن تظهر على وجه النرد الواحد.

لدينا ثلاث نردات، لذا عدد جميع النتائج الممكنة هو $6 \times 6 \times 6 = 216$، حيث يمثل كل عدد وجوه النرد. والآن، نحن نريد حدوث الحالة $abc = X$.

للعثور على قيمة X، نحتاج إلى استكشاف جميع الطرق التي يمكن أن تجمع فيها الأعداد الثلاثة لتكوين المتغير X. يمكن أن تكون هذه الطرق، على سبيل المثال، $(1, 1, X)$ أو $(1, X, 1)$ أو $(X, 1, 1)$، وهكذا.

لكن إذا كنا نعلم أن الاحتمال الكلي لحدوث $abc = X$ هو $\frac{1}{216}$، فإن عدد الطرق التي تؤدي إلى هذا الناتج محدود. على سبيل المثال، إذا كان لدينا $(1, 6, 6)$ أو $(6, 1, 6)$ أو $(6, 6, 1)$، فإن كل هذه الحالات تؤدي إلى نفس القيمة $abc = 36$.

بما أن الناتج الإجمالي لهذه الحالات هو $\frac{1}{216}$، فإن عدد الحالات المختلفة التي تؤدي إلى نفس القيمة X هو 1.

إذاً، المتغير المجهول X هو 36.

لحل هذه المسألة، سنستخدم قوانين الاحتمالات وقوانين الجمع والضرب في الاحتمالات. دعونا نقوم بتفصيل الحل:

لنحدد القضية التي نبحث فيها، نريد حدوث الحالة $abc = X$ عند رمي ثلاثة نردات. حيث $a، b، c$ هي الأعداد التي نحصل عليها وX هو المتغير المجهول الذي نبحث عن قيمته.

نعلم أن هناك 6 وجوه ممكنة للنرد، لذا يمكن أن تكون قيم $a، b، c$ أي من الأعداد 1 إلى 6.

لنحسب عدد جميع النتائج الممكنة، يمكن لأي من $a، b، c$ أن يكون أحد القيم 1 إلى 6، وهذا يؤدي إلى $6 \times 6 \times 6 = 216$ نتيجة ممكنة.

الآن، نحن نريد حدوث الحالة $abc = X$، ولكن إذا كنا نعلم أن الإجابة هي $\frac{1}{216}$، فإن عدد الطرق التي تؤدي إلى هذا الناتج محدود.

لفهم هذا، دعونا نفكر في كيفية تكوين $X$ باستخدام $a، b، c$.

• يمكن أن يكون $X = a \times b \times c$. لكن لدينا ثلاثة أماكن لوضع الأعداد (a، b، c)، لذا يمكن أن يكون $X$ مكونًا من الأمثلة التالية: $(a, b, X)$ أو $(a, X, b)$ أو $(X, a, b)$ وهكذا.
• يمكن أن يكون $X$ هو أحد النواتج التالية: $a \times b \times c$، $a \times c \times b$، $b \times a \times c$، $b \times c \times a$، $c \times a \times b$، $c \times b \times a$.

تكمن الفكرة في أن هناك العديد من الطرق لتكوين نفس القيمة $X$ باستخدام الأعداد (a، b، c) بترتيب مختلف. وبما أن الإجابة الكلية هي $\frac{1}{216}$، فإن هذا يعني أن هناك عددًا محددًا من الحالات التي تؤدي إلى نفس القيمة $X$.

بما أننا نعلم أن هناك حالة واحدة فقط تؤدي إلى $X$، فإن القيمة المجهولة $X$ هي 36.

في الحل، استخدمنا قوانين الاحتمالات والجمع والضرب في الاحتمالات. استفدنا من فكرة ترتيب الأعداد بشكل مختلف للوصول إلى نفس القيمة، وهذا ما جعل عدد الحالات الممكنة محدودًا وأدى إلى تحديد قيمة $X$.