حساب الاحتمالات: رمي العملة الست مرات

إذا قمنا برمي عملة معينة، فإن احتمال أن تظهر الوجه السفلي للعملة هو 1/2. إذا قمنا برمي العملة 6 مرات، ما هي احتمالية أن تظهر الوجوه على الجهة العليا في أول 4 محاولات ولكن لا تظهر في آخر 2 محاولة؟

الإعادة:
نقوم بحساب الاحتمالية لكل حدث مستقل، ثم نقوم بضرب هذه الاحتماليات معًا.

الاحتمالية لظهور الوجه العلوي في أول 4 مرات:
$P(\text{الوجه العلوي في الأولى}) \times P(\text{الوجه العلوي في الثانية}) \times P(\text{الوجه العلوي في الثالثة}) \times P(\text{الوجه العلوي في الرابعة})$

وحيث أن احتمالية ظهور الوجه العلوي في كل مرة هي 1/2، نقوم بضربها معًا:
$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$

الاحتمالية لعدم ظهور الوجه العلوي في آخر 2 مرات:
$P(\text{الوجه السفلي في الخامسة}) \times P(\text{الوجه السفلي في السادسة})$

وحيث أن احتمالية ظهور الوجه السفلي هي أيضاً 1/2، نقوم بضربها معًا:
$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$

الآن، نقوم بضرب الاحتماليات معًا للحصول على الاحتمال الإجمالي:
$\left(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\right)$

بعد الضرب، نقوم بحساب القيمة النهائية:
$\frac{1}{16} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{64}$

إذا كانت العملة قد تم رميها 6 مرات، فإن احتمالية أن تظهر الوجوه على الجهة العليا في أول 4 محاولات ولكن لا تظهر في آخر 2 محاولة هي 1/64.

في حل هذه المسألة، نستخدم مفهوم الاحتمالات ونعتمد على عدة قوانين من بينها قاعدة الضرب وقاعدة حساب الاحتمالات. لنقم بتفصيل الحل وذكر القوانين المستخدمة:

1. قاعدة الضرب:
   قاعدة تنص على أنه إذا كانت هناك عدة حوادث مستقلة، فيمكننا حساب احتمال حدوث هذه الحوادث معًا بضرب احتمال حدوث كل منها بمفرده.

2. قاعدة حساب الاحتمالات:
   تقول إن احتمال حدوث حدث ما يكون بين 0 و1، حيث 0 يعني عدم حدوث الحدث و1 يعني حدوثه بالتأكيد.

الآن، لنحسب الاحتمال الكلي للواقعة المطلوبة:

$P(\text{الأولى إلى الرابعة علوي والخامسة والسادسة سفليتين})$

نستخدم قاعدة الضرب للأحداث المستقلة، حيث إن رمي العملة كل مرة يعتبر حدثًا مستقلاً:

$P(\text{الأولى إلى الرابعة علوي}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$

ثم نستخدم نفس القاعدة للجزء الآخر من الحدث:

$P(\text{الخامسة والسادسة سفليتين}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$

الآن، نقوم بضرب الاحتمالات معًا:

$P(\text{الأولى إلى الرابعة علوي والخامسة والسادسة سفليتين}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$

بعد الضرب، نحصل على:

$P(\text{الأولى إلى الرابعة علوي والخامسة والسادسة سفليتين}) = \frac{1}{64}$

إذا، الاحتمال الكلي هو 1/64.