حساب الإسقاط الموازي في الفضاء الثلاثي (مسألة رياضيات)

لنفترض أن $\mathbf{v}$ و $\mathbf{w}$ هما متجهات في الفضاء ثلاثي الأبعاد. ونعلم أن الإسقاط الموازي لمتجه $\mathbf{v}$ على $\mathbf{w}$ يُعطى بواسطة العلاقة:
$\operatorname{proj}_{\mathbf{w}} \mathbf{v} = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}}{\|\mathbf{w}\|^2} \mathbf{w}.$
حيث يعبر $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}$ عن الضرب الداخلي بين $\mathbf{v}$ و $\mathbf{w}$، و $|\mathbf{w}|$ هو طول المتجه $\mathbf{w}$.

وفي هذه المسألة معطي لنا أن:
$\operatorname{proj}_{\mathbf{w}} \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}.$
الآن، لنحسب الإسقاط الموازي ل $-2\mathbf{v}$ على $\mathbf{w}$.

أولاً، نحسب $-2\mathbf{v}$:
$-2\mathbf{v} = -2 \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2v_1 \\ -2v_2 \\ -2v_3 \end{pmatrix}.$
ثانياً، نحسب الإسقاط الموازي لـ $-2\mathbf{v}$ على $\mathbf{w}$ باستخدام الصيغة السابقة:
$\operatorname{proj}_{\mathbf{w}} (-2 \mathbf{v}) = \frac{(-2\mathbf{v}) \cdot \mathbf{w}}{\|\mathbf{w}\|^2} \mathbf{w}.$
وبما أن $\operatorname{proj}_{\mathbf{w}} \mathbf{v}$ موجودة ومعروفة، يمكننا حساب المقدار $(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w})$ بسهولة من هناك.

لذا، سنقوم بحساب المقدار $(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w})$ أولاً:
$\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix} = v_1 w_1 + v_2 w_2 + v_3 w_3.$
ثالثاً، نستخدم الإسقاط الموازي لـ $\mathbf{v}$ على $\mathbf{w}$ المعطاة لنا للحصول على $(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w})$:
$\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix} = 1 \cdot w_1 + 0 \cdot w_2 + (-3) \cdot w_3 = w_1 – 3w_3.$
الآن، لدينا قيمة $(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w})$.

رابعاً، سنحسب طول $\mathbf{w}$:
$\|\mathbf{w}\| = \sqrt{w_1^2 + w_2^2 + w_3^2}.$
ومن المعطيات، ليس لدينا قيم محددة لمكونات $\mathbf{w}$، لذلك لا يمكننا حساب الطول بالطريقة المباشرة.

ختاماً، بعد حساب $(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w})$ وتحديد $|\mathbf{w}|$ (الذي لم يتم تحديده مباشرة)، نستطيع استخدام العلاقة السابقة لحساب الإسقاط الموازي لـ $-2\mathbf{v}$ على $\mathbf{w}$:
$\operatorname{proj}_{\mathbf{w}} (-2 \mathbf{v}) = \frac{(-2\mathbf{v}) \cdot \mathbf{w}}{\|\mathbf{w}\|^2} \mathbf{w}.$
لكن من المهم ملاحظة أن الحل النهائي يتوقف على معرفة مكونات $\mathbf{w}$ للحصول على النتيجة النهائية للإسقاط الموازي.

في هذه المسألة، نحاول حساب الإسقاط الموازي لمتجه $-2\mathbf{v}$ على $\mathbf{w}$، والذي يمكن تمثيله بالصيغة:
$\operatorname{proj}_{\mathbf{w}} (-2 \mathbf{v}) = \frac{(-2\mathbf{v}) \cdot \mathbf{w}}{\|\mathbf{w}\|^2} \mathbf{w}.$
لحساب هذا الإسقاط، نحتاج أولاً إلى معرفة القيمة $(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w})$ و$|\mathbf{w}|$.

القانون المستخدم هنا هو قانون الإسقاط الموازي:
$\operatorname{proj}_{\mathbf{w}} \mathbf{v} = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}}{\|\mathbf{w}\|^2} \mathbf{w}.$
هذا القانون يعطينا الإسقاط الموازي لمتجه $\mathbf{v}$ على $\mathbf{w}$، حيث يعتمد على الضرب الداخلي بين $\mathbf{v}$ و $\mathbf{w}$ وطول $\mathbf{w}$.

بعد ذلك، نستخدم قانون الضرب الداخلي بين متجهين:
$\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = v_1 w_1 + v_2 w_2 + v_3 w_3.$
هذا القانون يساعدنا في حساب الضرب الداخلي بين $\mathbf{v}$ و $\mathbf{w}$.

ثم، نستخدم قانون حساب طول المتجه:
$\|\mathbf{w}\| = \sqrt{w_1^2 + w_2^2 + w_3^2}.$
وهذا القانون يمكننا من حساب طول المتجه $\mathbf{w}$.

بعد حساب قيمة $(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w})$ وتحديد $|\mathbf{w}|$
، نستخدم الصيغة الأولى لحساب الإسقاط الموازي لـ $-2\mathbf{v}$ على $\mathbf{w}$:
$\operatorname{proj}_{\mathbf{w}} (-2 \mathbf{v}) = \frac{(-2\mathbf{v}) \cdot \mathbf{w}}{\|\mathbf{w}\|^2} \mathbf{w}.$

وبالتالي، الحل يعتمد على استخدام قوانين الضرب الداخلي، وحساب الإسقاط الموازي وطول المتجه، وذلك للوصول إلى الإسقاط المطلوب.