حساب الإسقاط الموازي في الرياضيات (مسألة رياضيات)

إذا كانت $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$ هما فيكتورات متعامدة، وإذا كانت $\operatorname{proj}{\mathbf{a}} \begin{pmatrix} 3 \ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{5} \ -\frac{6}{5} \end{pmatrix}$، فلنقم بحساب $\operatorname{proj}{\mathbf{b}} \begin{pmatrix} 3 \ -3 \end{pmatrix}.$

لحساب الإسقاط الموازي للفضاء المتجه $\begin{pmatrix} 3 \ -3 \end{pmatrix}$ على الاتجاه الذي يُعطى بواسطة الفضاء المتجه $\mathbf{b}$، نستخدم الصيغة:

$\operatorname{proj}_{\mathbf{b}} \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix} = \frac{\begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|^2} \mathbf{b}$

حيث النقطة (dot product) بين الفضاءين تُعطى بواسطة العلاقة:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$

وبالتالي، يُمكننا استخدام هذا المعلومات لحساب الإسقاط:

$\operatorname{proj}_{\mathbf{b}} \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix} = \frac{\begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|^2} \mathbf{b}$

حيث النقطة (dot product) بين $\begin{pmatrix} 3 \ -3 \end{pmatrix}$ و $\mathbf{b}$ تكون صفراً بسبب العمودية، وبالتالي:

$\operatorname{proj}_{\mathbf{b}} \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix} = \frac{0}{\|\mathbf{b}\|^2} \mathbf{b} = \mathbf{0}$

إذاً، الإسقاط الموازي للفضاء المتجه $\begin{pmatrix} 3 \ -3 \end{pmatrix}$ على الاتجاه الذي يُعطى بواسطة الفضاء المتجه $\mathbf{b}$ هو الفضاء الصفري $\mathbf{0}$.

لنحسب الإسقاط الموازي للفضاء المتجه $\begin{pmatrix} 3 \ -3 \end{pmatrix}$ على الاتجاه الذي يُعطى بواسطة الفضاء المتجه $\mathbf{b}$. لدينا القاعدة العامة لحساب الإسقاط الموازي:

$\operatorname{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{v} = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|^2} \mathbf{b}$

حيث:

• $\mathbf{v}$ هو الفضاء الذي نقوم بحساب الإسقاط له ($\begin{pmatrix} 3 \ -3 \end{pmatrix}$ في هذه الحالة).
• $\mathbf{b}$ هو الفضاء الذي يحدد اتجاه الإسقاط.
• $\cdot$ يمثل عملية الضرب النقطي.
• $|\mathbf{b}|$ هو طول الفضاء $\mathbf{b}$.

في هذه المسألة، نعلم أن $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$ هما فيكتورات متعامدة، أي $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$. هذا الشرط يعني أن الفضاءين متعامدين، وبالتالي نستنتج أن إسقاط $\begin{pmatrix} 3 \ -3 \end{pmatrix}$ على الاتجاه الذي يُعطى بواسطة $\mathbf{b}$ سيكون صفرياً، أي $\operatorname{proj}_{\mathbf{b}} \begin{pmatrix} 3 \ -3 \end{pmatrix} = \mathbf{0}$.

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة حساب الإسقاط الموازي: $\operatorname{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{v} = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|^2} \mathbf{b}$
2. الفضاءان $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$ متعامدان، مما يعني أن $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$.

باستخدام هاتين القاعدتين، ومع توفرنا على القيمة $\operatorname{proj}{\mathbf{a}} \begin{pmatrix} 3 \ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{5} \ -\frac{6}{5} \end{pmatrix}$، والتي تُظهر أن $\begin{pmatrix} 3 \ -3 \end{pmatrix}$ قد تمثل جزءاً من الفضاء $\mathbf{a}$، نستنتج بأن الإسقاط على الاتجاه المتعامد $\mathbf{b}$ هو $\operatorname{proj}{\mathbf{b}} \begin{pmatrix} 3 \ -3 \end{pmatrix} = \mathbf{0}$.