حساب الإحتمال: اختيار كرة زرقاء وكرات حمراء (مسألة رياضيات)

يحتوي إناء على 5 كرات حمراء و6 كرات زرقاء و8 كرات خضراء. يتم اختيار 4 كرات عشوائيًا من الإناء، ما هي احتمالية أن تكون إحدى هذه الكرات زرقاء والثلاث الأخرى حمراء؟

الحل:

لنحسب الإحتمالية المطلوبة، يمكننا استخدام مبدأ الإحتمالات. عدد الطرق الناجحة (الكرات الزرقاء والحمراء) يمكن حسابه عن طريق تحديد كل مكون من المكونات.

عدد الطرق التي يمكن اختيار كرة زرقاء واحدة من بين الكرات الزرقاء الست هو 6، وهناك 5 كرات حمراء يمكن اختيار إحداها. لذلك، عدد الطرق الناجحة هو 6 × 5.

الآن، نحتاج إلى حساب إجمالي عدد الطرق التي يمكن أن يتم فيها اختيار 4 كرات من الإناء، وهو مجموع الكرات الحمراء والزرقاء والخضراء. إجمالاً، هناك 5 + 6 + 8 = 19 كرة.

لذا، الإحتمالية المطلوبة هي:

$P = \frac{\text{عدد الطرق الناجحة}}{\text{إجمالي عدد الطرق}} = \frac{6 \times 5}{\binom{19}{4}}$

حيث $\binom{n}{r}$ هو معامل الجمع المنتقى، ويُحسب كالتالي:

$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

التي تمثل الطريقة التي يمكن بها اختيار $r$ عنصرًا من بين مجموعة تحتوي على $n$ عنصر. يتم تبسيط المعادلة لتكون:

$P = \frac{6 \times 5}{\frac{19!}{4!(19-4)!}}$

يمكن حساب هذه القيم باستخدام القيم العاملية للعوامل في المعاملين.

بالطبع، سنقوم بحساب الإحتمالية المطلوبة بمزيد من التفاصيل وذلك باستخدام القوانين الأساسية لحساب الإحتمالات. سنعتمد على مبدأ الإحتمالات ومعامل الجمع المنتقى في حل هذه المسألة.

القوانين المستخدمة:

1. مبدأ الإحتمالات:
   إذا كانت $A$ و $B$ حوادث متبادلة (يمكن أن تحدث كلتا الحوادث)، فإن إحتمال حدوث الحادثين $A$ و $B$ هو ضرب الإحتمالين $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

2. معامل الجمع المنتقى:
   عند اختيار $r$ عناصر من مجموعة من $n$ عنصر، يمكن حساب عدد الطرق الممكنة باستخدام معامل الجمع المنتقى $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$.

الحل:

لنحسب الإحتمال المطلوب، نستخدم مبدأ الإحتمالات. عدد الطرق الناجحة لاختيار كرة زرقاء واحدة من بين الكرات الزرقاء الست هو 6، وعدد الطرق الناجحة لاختيار كرة حمراء واحدة من بين الكرات الحمراء الخمس هو 5. لذلك:

$\text{عدد الطرق الناجحة} = 6 \times 5$

الآن، نحتاج إلى حساب الإجمالي عدد الطرق التي يمكن فيها اختيار 4 كرات من الإناء. يمكن حساب ذلك باستخدام معامل الجمع المنتقى:

$\text{إجمالي الطرق} = \binom{19}{4}$

وبالتالي، الإحتمال المطلوب يكون:

$P = \frac{\text{عدد الطرق الناجحة}}{\text{إجمالي الطرق}} = \frac{6 \times 5}{\binom{19}{4}}$

يمكن حساب هذه القيم باستخدام قيم معامل الجمع المنتقى والعوامل في المعادلة. يمثل هذا الحل الدقيق للمسألة بالاعتماد على القوانين الرياضية المستخدمة.