حساب الأنماط: رقائق حمراء وزرقاء

في إعادة صياغة المسألة بشكل موسع وواضح، يكون السياق كالتالي:

فلنفترض أن لدينا مجموعة من الرقائق مكونة من رقائق حمراء وأخرى زرقاء. لدينا رقاقتان حمراوتان وثلاث زرقاوات. عندما نقوم بترتيب هذه الرقائق في صف، نشكل نمطًا للألوان مثل “ر-ز-ر-ر-ز”، ونسمي هذا النمط نمط الألوان.

السؤال هو: كم عدد الأنماط الممكنة يمكن تشكيلها باستخدام هذه الرقائق؟

للإجابة على هذا السؤال، دعونا نقوم بفحص كل ترتيب ممكن للرقائق. يمكننا استخدام الطريقة الرياضية لحساب عدد الطرق الممكنة. إذا كان لدينا 5 رقائق (2 حمراء و 3 زرقاء)، فإن عدد الطرق الممكنة يحسب بواسطة عدد الترتيبات الممكنة لهذه الرقائق ويمكن حسابه بمبدأ الكومبينات.

لنحسب ذلك:

عدد الكومبينات = n! / (r! * (n-r)!)

حيث n هو إجمالي عدد الرقائق، r هو عدد الرقائق المحمرة.

في حالتنا:
n = 5 (إجمالي عدد الرقائق)
r = 2 (عدد الرقائق المحمرة)

عدد الكومبينات = 5! / (2! * (5-2)!)

= 120 / (2 * 6)

= 120 / 12

= 10

إذاً، هناك 10 أنماط ممكنة لترتيب هذه الرقائق في صفوف مختلفة.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم الكومبينات، والذي يعتمد على قوانين الاحتمالات والترتيبات. الكومبينات تستخدم لحساب عدد الطرق الممكنة لاختيار فئة من العناصر من مجموعة معينة دون اعتبار الترتيب.

في هذه المسألة، لدينا 5 رقائق (2 حمراء و 3 زرقاء)، ونريد حساب عدد الطرق الممكنة لترتيبها في صف. نحتاج إلى استخدام قانون الكومبينات، والذي يمثله الصيغة:

$C(n, r) = \frac{n!}{r! \cdot (n-r)!}$

حيث:

• $C(n, r)$ هو عدد الكومبينات لاختيار r عنصرًا من مجموعة تحتوي على n عنصر.
• $n!$ هو الضرب التسلسلي لجميع الأعداد من 1 إلى n.
• $r!$ هو الضرب التسلسلي لجميع الأعداد من 1 إلى r.
• $(n-r)!$ هو الضرب التسلسلي لجميع الأعداد من 1 إلى (n-r).

في هذه المسألة:

• $n = 5$ (إجمالي عدد الرقائق).
• $r = 2$ (عدد الرقائق المحمرة).

إذًا:

$C(5, 2) = \frac{5!}{2! \cdot (5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$

لذا، هناك 10 طرق مختلفة يمكن بها ترتيب الرقائق الحمراء والزرقاء في صفوف مختلفة.

يتمثل الحل في استخدام قوانين الكومبينات لحساب عدد الطرق الممكنة لتشكيل النمط المختلف للألوان في الصف.