حساب الأعداد الأولية بين كسرين (مسألة رياضيات)

عدد الأعداد الأولية بين $\frac{51}{13}$ و $\frac{89}{9}$ هو سؤال يتطلب فهم الأعداد الأولية والقدرة على التعامل مع الكسور بشكل دقيق. لنقم أولاً بإعادة صياغة المسألة باللغة العربية:

“ما هو عدد الأعداد الأولية الواقعة بين الكسر $\frac{51}{13}$ والكسر $\frac{89}{9}$؟”

الآن، دعونا نقوم بحساب هذا العدد.

أولاً، لنحدد الأعداد الأولية بين هاتين الكسور. نبدأ بتحويل الكسور إلى صورة مشتركة لسهولة المقارنة. يمكننا استخدام حاصل ضرب المقامين للحصول على المقام المشترك:

$\frac{51}{13} \times \frac{9}{9} = \frac{459}{117}$

$\frac{89}{9} \times \frac{13}{13} = \frac{1157}{117}$

الآن، نحن نبحث عن الأعداد الأولية بين هاتين القيم. يمكننا القول إننا نبدأ من العدد الأولي بعد $\frac{459}{117}$ وننهي عند العدد الأولي الذي يسبق $\frac{1157}{117}$.

قد يكون من الصعب فحص كل رقم فردي للتحقق مما إذا كان أوليًا أم لا، لكن هناك طرق فعالة لتحديد الأعداد الأولية. يُفضل استخدام طريقة “منطق الجذر التربيعي”، حيث لا يكون هناك حاجة لفحص الأعداد الفردية بعد الجذر التربيعي للعدد.

لنقم بحساب الجذر التربيعي لأعلى قيمة في النطاق:

$\sqrt{1157} \approx 34$

إذاً، نقوم بفحص الأعداد الأولية حتى العدد 34. نتأكد من أننا لا نشمل القيمة 34 نفسها، لأننا نريد الأعداد بين الكسرين وليس بما في ذلكهما.

نبدأ بتحديد الأعداد الأولية بين 2 و 34 ونستبعد الأعداد التي تقع خارج هذا النطاق. بعد فحص الأعداد، نعتبر الأعداد الأولية بين $\frac{51}{13}$ و $\frac{89}{9}$ هي:

$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31$

إذاً، عدد الأعداد الأولية بين $\frac{51}{13}$ و $\frac{89}{9}$ هو 11 عددًا.

بالطبع، دعونا نقوم بتوسيع الحل وذلك باستخدام القوانين والمفاهيم الرياضية المتعلقة بالأعداد الأولية والكسور. سنقوم بتوضيح الخطوات بشكل أكثر تفصيلاً وسنشير إلى القوانين المستخدمة.

1. تحويل الكسور إلى صورة مشتركة:
   لنبدأ بتحويل الكسور $\frac{51}{13}$ و $\frac{89}{9}$ إلى صورة مشتركة. نستخدم حاصل ضرب المقامين للحصول على المقام المشترك:

   $\frac{51}{13} \times \frac{9}{9} = \frac{459}{117}$

   $\frac{89}{9} \times \frac{13}{13} = \frac{1157}{117}$

   هنا استخدمنا قاعدة ضرب الكسور حيث نضرب البسط في البسط والمقام في المقام.

2. تحديد الأعداد الأولية بين الكسرين:
   الآن، نحدد الأعداد الأولية بين هاتين القيم. يمكننا البدء من العدد الأولي الذي يلي $\frac{459}{117}$ وننهي عند العدد الأولي الذي يسبق $\frac{1157}{117}$.

3. استخدام منطق الجذر التربيعي:
   لتحديد الأعداد الأولية بكفاءة، نستخدم منطق الجذر التربيعي. نقوم بحساب الجذر التربيعي لأعلى قيمة في النطاق الذي نفحصه:

   $\sqrt{1157} \approx 34$

   هذا يعني أننا لا نحتاج إلى فحص الأعداد الأولية بعد العدد 34.

4. فحص الأعداد الأولية:
   نقوم بفحص الأعداد الأولية من 2 إلى 34 باستخدام قاعدة تحديد الأعداد الأولية. نستبعد الأعداد التي تكون مضاعفة لأعداد أصغر. الهدف هو العثور على الأعداد الأولية بين الكسرين.

5. تحديد الأعداد الأولية:
   بعد فحص الأعداد، نجد الأعداد الأولية بين $\frac{51}{13}$ و $\frac{89}{9}$:

   $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31$

6. الإجابة:
   إذاً، عدد الأعداد الأولية بين $\frac{51}{13}$ و $\frac{89}{9}$ هو 11 عددًا.

القوانين المستخدمة:

• قاعدة ضرب الكسور: لضرب البسط في البسط والمقام في المقام.
• منطق الجذر التربيعي: لتحديد النطاق الذي يجب فحصه للعثور على الأعداد الأولية.
• قاعدة تحديد الأعداد الأولية: لفحص الأعداد وتحديد ما إذا كانت أولية أم لا.