حساب الأصفار في العدد n (مسألة رياضيات)

المطلوب هو حساب عدد الأصفار الموجودة في نهاية العدد n، حيث n يساوي جمع عاملين بمقدار 70 و 140 بالتتابع. لحساب هذا، سنقوم بحساب عدد الأصفار المتواجدة في الجزء الأخير من العدد n.

لحساب عدد الأصفار في نهاية العدد، نحتاج إلى فهم كيف يتم ذلك. الصفر يظهر في نهاية العدد عندما نقوم بضربه في 10. لدينا عاملين هما 70 و 140، لذا سيظهر لدينا الصفر عند ضرب هذين العاملين في 10.

نعلم أن 10 يمكن تمثيله على الصورة 2 × 5. لذا، إذا ضربنا أي عدد في 10، فإن ذلك يعني ضربه في 2 و 5. نركز على العامل 5 لأن العامل 2 يوجد بكثرة.

في عامل 140، لدينا مجموعة من الأرقام التي تحتوي على عامل 5، وهي 5 و 10 و 15 وهكذا. وفي عامل 70، لدينا أيضاً مجموعة من الأرقام التي تحتوي على عامل 5.

الآن، نحتاج إلى حساب كمية أعداد 5. لدينا مجموع عامل 5 في 140 يكون أكبر من العامل 5 في 70. لذا، نركز على العامل 5 في 140.

نحسب كم مرة يظهر العامل 5 في 140. نعلم أن 140 ÷ 5 = 28. لذلك، هناك 28 عامل 5 في 140.

بالتالي، هناك 28 صفرًا في نهاية العدد n = 70! + 140!

لحل هذه المسألة، سنقوم بتحليل العددين 70! و 140! لفهم كيف يمكننا حساب عدد الأصفار في نهاية العدد n = 70! + 140!. سنستخدم قوانين حسابية وخوارزميات العوامل الأولية.

1. فهم مفهوم العوامل الأولية:

   • نحن نعلم أن عامل 5 ينتج عندما نقوم بضرب عدد في 10، وهو العدد الأولي 5.

2. تحليل 70!:

   • نبدأ بحساب عدد الأصفار في 70!. لحساب ذلك، نحسب كم مرة يظهر عامل 5 في الأرقام من 1 إلى 70.
   • نعلم أنه يظهر عامل 5 كل 5 أرقام، ولكن هناك أيضاً أرقام تحتوي على عامل 25 وتحتاج إلى احتساب مرتين.
   • نقوم بحساب 70 ÷ 5 = 14. لدينا 14 عامل 5.
   • نقوم بحساب 70 ÷ 25 = 2. لدينا 2 عامل 25.
   • إجمالًا، لدينا 14 + 2 = 16 عامل 5 في 70!.

3. تحليل 140!:

   • نقوم بنفس العملية للعدد 140!، حيث نحسب كم مرة يظهر عامل 5 في الأرقام من 1 إلى 140.
   • نقوم بحساب 140 ÷ 5 = 28. لدينا 28 عامل 5.
   • نقوم بحساب 140 ÷ 25 = 5. لدينا 5 عامل 25.
   • إجمالًا، لدينا 28 + 5 = 33 عامل 5 في 140!.

4. جمع 70! و 140!:

   • لحساب عدد الأصفار في نهاية n = 70! + 140!، نجمع عدد الأصفار في كل عامل 5.
   • إجمالًا، لدينا 16 + 33 = 49 عامل 5 في n.

5. القانون المستخدم:

   • نستنتج عدد الأصفار في العدد n باستخدام قاعدة ضرب الأصفار عند ضرب العدد في 10، ونستخدم مفهوم العوامل الأولية لحساب عدد الأصفار.

بهذا الشكل، نصل إلى النتيجة النهائية بأن هناك 49 صفرًا في نهاية العدد n = 70! + 140!