حساب الأسين وتطبيقاته في المعادلات

إذا كان $x = 3^9$ و $x^x = 3^k$، فما قيمة $k$؟

الحل:

لنقم أولاً بحساب قيمة $x$، حيث $x = 3^9$.

$x = 3^9 = 19683$

الآن، لحساب قيمة $k$، يجب علينا فهم أن $x^x$ تعني رفع $x$ إلى قوة $x$. لذا:

$x^x = (3^9)^{3^9}$

يُمكن تبسيط ذلك عن طريق ضرب الأسس:

$(3^9)^{3^9} = 3^{9 \times 3^9}$

الآن، نعلم أن $9 \times 3^9$ يمكن تمثيلها بقوة 3 كالتالي:

$9 \times 3^9 = 3^{2 \times 3^9}$

إذاً:

$x^x = 3^{3^{2 \times 3^9}}$

ونعلم أن هذا يكون مساوياً لـ $3^k$. لذا:

$3^{3^{2 \times 3^9}} = 3^k$

من المقارنة، نستنتج أن $k = 3^{2 \times 3^9}$.

تحديد قيمة $k$ يتطلب حساب القيمة النهائية للتعبير $3^{2 \times 3^9}$، والذي يعود بنا إلى استخدام القوانين الجبرية والحسابات الأسية للتوصل إلى الناتج النهائي. يمكن أن يتطلب ذلك عدة خطوات حسابية، ولكن الإجابة النهائية هي قيمة $k$.

بالتأكيد، سأقوم بتوضيح المزيد وذلك باستخدام القوانين الجبرية والحسابات الأسية في حل هذه المسألة.

لنقم بإعادة صياغة المسألة وحساب القيم:

إذا كان $x = 3^9$ و $x^x = 3^k$، نقوم أولاً بحساب قيمة $x$ باستخدام قاعدة أسية:

$x = 3^9 = 19683$

الآن، لنحسب قيمة $k$، نعلم أن $x^x$ يعني رفع $x$ إلى قوة $x$. لذا:

$x^x = (3^9)^{3^9}$

لحساب هذا، نستخدم قاعدة أسية تقول إن $(a^b)^c = a^{b \times c}$. لذا:

$(3^9)^{3^9} = 3^{9 \times 3^9}$

نستخدم القاعدة الأخرى التي تقول إن $a^{b \times c} = a^{b^c}$:

$3^{9 \times 3^9} = 3^{3^{2 \times 3^9}}$

ونعلم أن هذا يكون مساوياً لـ $3^k$. لذا:

$3^{3^{2 \times 3^9}} = 3^k$

المقارنة تعني أن $k = 3^{2 \times 3^9}$.

لحساب القيمة النهائية لـ $3^{2 \times 3^9}$، نستخدم القوانين الجبرية. في هذه الحالة، يتم تطبيق قاعدة الأس:

$3^{2 \times 3^9} = 3^{3^9 + 3^9}$

وفي هذا السياق، نستخدم قاعدة جمع الأسس: $a^{b + c} = a^b \times a^c$:

$3^{3^9 + 3^9} = 3^{3^9} \times 3^{3^9}$

وهكذا نحصل على قيمة $k$.

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة الأس: $(a^b)^c = a^{b \times c}$
2. قاعدة الأس: $a^{b \times c} = a^{b^c}$
3. قاعدة جمع الأسس: $a^{b + c} = a^b \times a^c$

هذه القوانين تُستخدم لتبسيط وحساب التعابير الأسية وتسهيل عملية الحل.