حساب الأسس والتبسيط الرياضي: قوة 2^125 (مسألة رياضيات)

نرغب في حساب قيمة التعبير $2^{10} \cdot 2^{15}$ وتعبيرها كعدد صحيح مرفوع إلى القوة الخامسة. لحساب هذا التعبير، يمكننا جمع الأسس لأنهما يتعلقان بنفس الأساس 2. القاعدة هي أنه عند جمع أسين لنفس العدد، نقوم بجمع الأسس:

$2^{10} \cdot 2^{15} = 2^{10 + 15}$

الآن، يمكننا جمع الأسس:

$2^{10 + 15} = 2^{25}$

إذاً، التعبير $2^{10} \cdot 2^{15}$ يمكن تعبيره بشكل أبسط على شكل $2^{25}$. وبما أننا نرغب في تعبيره كعدد صحيح مرفوع إلى القوة الخامسة، يجب علينا حساب القيمة النهائية برفع الناتج إلى القوة الخامسة:

$2^{25} \text{ to the power of 5} = (2^{25})^5$

لحساب هذا، نضرب الأس 5 مرات:

$(2^{25})^5 = 2^{25 \times 5} = 2^{125}$

إذاً، التعبير $2^{10} \cdot 2^{15}$ عند تعبيره كعدد صحيح مرفوع إلى القوة الخامسة يكون $2^{125}$.

بالطبع، دعونا نقوم بحساب قيمة التعبير $2^{10} \cdot 2^{15}$ بشكل أكثر تفصيلاً، مع الإشارة إلى القوانين المستخدمة في الحل.

القاعدة الأساسية التي تطبق هنا هي قاعدة الأسس عند ضرب نفس الأس:

$a^m \cdot a^n = a^{m + n}$

في هذه المسألة، نلاحظ أن الأس 10 يتعلق بنفس العدد (2) في كلتا التراكيب. لذا، يمكننا جمع الأسين:

$2^{10} \cdot 2^{15} = 2^{10 + 15}$

الآن، نستخدم قاعدة جمع الأسس للتبسيط:

$2^{10 + 15} = 2^{25}$

حتى هنا، لدينا التبسيط النهائي للجزء الأسي في التعبير الأصلي.

الآن، بما أننا نريد تعبيره كعدد صحيح مرفوع إلى القوة الخامسة، نستخدم قاعدة رفع الأس إلى قوة أخرى:

$(a^m)^n = a^{m \times n}$

نطبق هذه القاعدة للحصول على الناتج النهائي:

$2^{25 \times 5} = 2^{125}$

إذاً، الناتج النهائي هو $2^{125}$. في هذا السياق، استخدمنا قوانين الأسس والضرب لتبسيط التعبير والوصول إلى الإجابة النهائية.