حساب ارتفاع الأسطوانة الصلبة (مسألة رياضيات)

السؤال:
في أسطوانة صلبة بنصف قطرها 2 أقدام ومساحة سطح إجمالية تبلغ 12π قدم مربع، ما هو ارتفاع الأسطوانة؟

الحل:
لنقم بتحليل المسألة. يُعطى لنا نصف قطر الأسطوانة ومساحة سطحها الإجمالية. نحتاج إلى العثور على ارتفاع الأسطوانة.

مساحة السطح الإجمالية لأسطوانة تُعطى بالصيغة التالية:
$2\pi r^2 + 2\pi rh$

حيث $r$ هو نصف قطر القاعدة، و $h$ هو ارتفاع الأسطوانة.

نعرف أن مساحة السطح الإجمالية هي $12\pi$ قدم مربع، ونواجه معادلة تحتوي على مجهولين $r$ و $h$.

نستخدم القيم المعطاة:
$2\pi (2)^2 + 2\pi (2)h = 12\pi$

الآن نقوم بتبسيط المعادلة:
$8\pi + 4\pi h = 12\pi$

نطرح $8\pi$ من كلا الجانبين للمعادلة:
$4\pi h = 4\pi$

نقسم كلا الجانبين على $4\pi$:
$h = 1$

إذاً، ارتفاع الأسطوانة هو 1 قدم.

لحل المسألة، سنستخدم مفهوم مساحة السطح الإجمالية للأسطوانة ونستنتج قوانين هندسية تطبق على الأشكال الهندسية ثلاثية الأبعاد.

القوانين المستخدمة:

1. مساحة السطح الإجمالية للأسطوانة: تتألف مساحة السطح الإجمالية للأسطوانة من مساحة قاعدتين دائريتين ومساحة الجانب الأسطواني. تُعطى هذه المساحة بالصيغة: $2\pi r^2 + 2\pi rh$ حيث $r$ هو نصف قطر القاعدة و$h$ هو ارتفاع الأسطوانة.

الآن، لحل المسألة:

1. نُعطى نصف قطر الأسطوانة $r = 2$ قدم ومساحة السطح الإجمالية $12\pi$ قدم مربع.
2. نفترض أن الارتفاع الذي نبحث عنه هو $h$ قدم.
3. نستخدم معادلة مساحة السطح الإجمالية للأسطوانة ونضع القيم المعطاة فيها.
   $2\pi (2)^2 + 2\pi (2)h = 12\pi$
4. نقوم بحساب القيم:
   $8\pi + 4\pi h = 12\pi$
5. نطرح $8\pi$ من الجانبين لنجد:
   $4\pi h = 4\pi$
6. نقسم كل جانب على $4\pi$ للعثور على قيمة $h$ وهي:
   $h = 1$

بالتالي، يكون ارتفاع الأسطوانة هو 1 قدم. تم استخدام القوانين الهندسية المذكورة أعلاه لتحويل المعطيات الأولية إلى معادلة قابلة للحل للعثور على الحل المطلوب.