حساب احتمال وجود ضابط سابق في انتخابات نادي الرياضيات (مسألة رياضيات)

في نهاية السنة، قرر نادي الرياضيات إجراء انتخابات لاختيار 5 مناصب متساوية للضباط. ومع ذلك، تم ترشيح 16 مرشحًا، من بينهم 7 كانوا ضباطًا في الماضي. من بين جميع احتمالات انتخابات الضباط الممكنة، كم عدد الانتخابات التي ستحتوي على الأقل ضابطًا واحدًا من بين الضباط السابقين؟

لحل هذه المسألة، سنستخدم مبدأ الاحتمالات. لدينا 16 مرشحًا، ونحن بحاجة إلى اختيار 5 من بينهم. يمكننا حساب عدد الطرق التي يمكننا بها اختيار 5 من بين 16 باستخدام الصيغة التالية:

$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

حيث $n!$ هو عامل الترتيب للعدد n ويمثل الضرب من 1 إلى n. و $C(n, k)$ هو عدد الطرق التي يمكننا بها اختيار k عناصر من بين n عناصر.

لذا في حالتنا، سنحسب:

$C(16, 5) = \frac{16!}{5!(16-5)!}$

ثم، سنقوم بحساب عدد الطرق التي يمكننا بها اختيار 5 من بين الضباط السابقين (7 ضباط). يمكننا استخدام نفس الصيغة:

$C(7, k) = \frac{7!}{k!(7-k)!}$

حيث يمكن لـ k أن يتغير من 0 إلى 5 (حيث 0 يعني ألا يكون أي ضابط سابق في التكوين النهائي). سنقوم بحساب مجموع عدد الطرق لجميع القيم الممكنة لـ k.

أخيرًا، سنستخدم مبدأ الاحتمالات مرة أخرى لحساب الاحتمال الكلي لوجود ضابط واحد على الأقل من بين الضباط السابقين. سنقوم بطرح عدد الطرق التي لا تحتوي على ضباط سابقين من الإجمالي:

$P(\text{at least 1 past officer}) = 1 – P(\text{no past officers})$

أتمنى أن يكون هذا الشرح وافيًا ويوضح الطريقة التي يمكننا بها حل هذه المسألة الرياضية.

بالطبع، دعونا نوسع على الحل ونشرح التفاصيل بشكل أكبر. لحل هذه المسألة، سنستخدم مبدأ الاحتمالات وقوانين الاحتمالات.

التفاصيل:

1. حساب عدد الطرق لاختيار 5 ضباط من بين 16:
   نستخدم صيغة الاحتمالات لحساب عدد الطرق لاختيار 5 ضباط من بين 16. الصيغة هي:
   $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
   حيث $n!$ هو عامل الترتيب للعدد n.

   لدينا في هذه الحالة:
   $C(16, 5) = \frac{16!}{5!(16-5)!}$

   يتم حساب هذا العدد لتحديد عدد الطرق الممكنة لاختيار 5 ضباط من بين 16.

2. حساب عدد الطرق لاختيار k ضابطًا من بين الضباط السابقين (k من 0 إلى 5):
   نستخدم نفس الصيغة لحساب عدد الطرق لاختيار k ضابطًا من بين 7 ضباط. الصيغة هي:
   $C(7, k) = \frac{7!}{k!(7-k)!}$

   نحتاج إلى حساب هذا العدد لكل قيمة ممكنة لـ k (من 0 إلى 5) لأنه يمثل عدد الطرق لاختيار k ضابطًا من بين الضباط السابقين.

3. حساب الاحتمال الكلي لوجود ضابط واحد على الأقل من بين الضباط السابقين:
   نستخدم مبدأ الاحتمالات لحساب الاحتمال الكلي. يتم ذلك عبر طرح احتمال عدم وجود ضباط سابقين من 1 (الاحتمال الكلي)، وهو:
   $P(\text{at least 1 past officer}) = 1 – P(\text{no past officers})$

   حيث:
   $P(\text{no past officers}) = \frac{C(9, 5)}{C(16, 5)}$
   يتم حساب هذا الاحتمال عبر حساب عدد الطرق لاختيار 5 ضباط من بين 9 الذين ليسوا من الضباط السابقين، ثم قسمته على إجمالي عدد الطرق لاختيار 5 ضباط من بين 16.

القوانين المستخدمة:

1. صيغة الاحتمالات (التصنيفات):
   $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
   حيث $n!$ هو عامل الترتيب للعدد n.

2. مبدأ الاحتمالات:
   $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$
   حيث $P(A \cup B)$ هو احتمال حدوث A أو B.

3. حساب الاحتمال الكلي:
   $P(\text{at least 1 past officer}) = 1 – P(\text{no past officers})$
   حيث $P(\text{no past officers})$ هو احتمال عدم وجود ضباط سابقين في الانتخابات.

أتمنى أن يكون هذا الشرح وافيًا ويساعد في فهم الخطوات المتبعة لحل هذه المسألة.