حساب احتمالية يد فل هاوس في البوكر (مسألة رياضيات)

لنقوم بإعادة صياغة المسألة باللغة العربية:

لدينا مجموعة من البطاقات القياسية المكونة من 52 بطاقة، حيث تحتوي كل رتبة على 4 بطاقات موزعة على 13 رتبة. نطلق على يد بوكر مؤلفة من 5 بطاقات “فل هاوس” إذا كانت تحتوي على X بطاقة من رتبة واحدة و 2 بطاقة من رتبة أخرى (مثل 33355 أو AAAKK). الاحتمالية التي يتشكل فيها خمس بطاقات عشوائية يد فل هاوس تساوي 4165. ما قيمة المتغير المجهول X؟

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى استخدام مفهوم الاحتماليات وقوانين الاحتمالات. الاحتمالية لتكوُّن يد فل هاوس تعتمد على عدد الطرق التي يمكن أن تتشكل بها هذه اليد مقسومة على إجمالي عدد اليدين الممكنة.

لحساب الاحتمالية، أولاً نحتاج إلى معرفة عدد الطرق التي يمكن بها أن تتشكل يد فل هاوس:

1. نختار الرتبة التي ستحتوي على X بطاقات. هناك 13 طريقة للقيام بذلك.
2. نختار 3 بطاقات من الـ X بطاقات المختارة بالفعل. هناك $\binom{4}{X}$ طرق لفعل ذلك.
3. نختار الرتبة التي ستحتوي على 2 بطاقة. هناك 12 طريقة للقيام بذلك (نظراً لأننا اخترنا بالفعل رتبة واحدة للـ X بطاقة).
4. نختار 2 بطاقات من الرتبة المختارة بالفعل. هناك $\binom{4}{2}$ طرق لفعل ذلك.

إجمالاً، عدد الطرق التي يمكن بها تشكيل يد فل هاوس هو:

$13 \times \binom{4}{X} \times 12 \times \binom{4}{2}$

ثم، نحسب إجمالي عدد اليدين الممكنة من خلال اختيار 5 بطاقات من بين البطاقات الـ 52:

$\binom{52}{5}$

لذلك، الاحتمالية الكلية لتشكل يد فل هاوس هي:

$\frac{13 \times \binom{4}{X} \times 12 \times \binom{4}{2}}{\binom{52}{5}} = \frac{4165}{2598960}$

الآن، نقوم بحل المعادلة للعثور على قيمة X.

لحل مسألة احتمالية تكوين يد فل هاوس في لعبة البوكر، نستخدم مفهوم الاحتمالات وقوانين الاحتمالات. في هذه المسألة، نريد حساب الاحتمالية التي تتشكل بها يد فل هاوس، مع العلم أنها تتألف من X بطاقة من رتبة واحدة و 2 بطاقة من رتبة أخرى.

القوانين المستخدمة:

1. قانون الاحتمالات الكلية: يقول أن مجموع الاحتماليات لجميع النتائج الممكنة في تجربة عشوائية يساوي واحد.
2. قانون الجمع: إذا كانت الأحداث متباعدة (لا يمكن حدوثهما معًا)، فإن احتمالية حدوث أحد هذه الأحداث هي مجموع الاحتماليات لكل من الأحداث.

الخطوات الرئيسية لحساب الاحتمالية:

1. حساب عدد الطرق التي يمكن بها تشكيل يد فل هاوس.
2. حساب عدد اليدين الممكنة.

بعد ذلك، نقوم بتطبيق قوانين الاحتمالات للحصول على الإجابة.

الآن، سنواصل بتطبيق هذه الخطوات لحساب قيمة X:

1. عدد الطرق التي يمكن بها تشكيل يد فل هاوس:

   • نختار رتبة للـ X بطاقة من بين 13 رتبة، وهناك 13 طريقة لفعل ذلك.
   • نختار 3 بطاقات من الـ X بطاقة المختارة بالفعل، وهناك $\binom{4}{X}$ طرق لفعل ذلك.
   • نختار رتبة للـ 2 بطاقة المتبقية من بين الـ 12 رتبة المتبقية، وهناك 12 طريقة لفعل ذلك.
   • نختار 2 بطاقة من الـ 4 بطاقات المتاحة للرتبة المختارة، وهناك $\binom{4}{2}$ طرق لفعل ذلك.
   • بالتالي، عدد الطرق التي يمكن بها تشكيل يد فل هاوس هو: $13 \times \binom{4}{X} \times 12 \times \binom{4}{2}$.

2. عدد اليدين الممكنة:

   • نختار 5 بطاقات من بين 52 بطاقة، وهناك $\binom{52}{5}$ طريقة لفعل ذلك.

الآن، نقوم بتطبيق قوانين الاحتمالات:
$\text{الاحتمالية} = \frac{\text{عدد الطرق للفل هاوس}}{\text{عدد اليدين الممكنة}} = \frac{13 \times \binom{4}{X} \times 12 \times \binom{4}{2}}{\binom{52}{5}}$

وهي تساوي القيمة المعطاة في المسألة، أي $\frac{4165}{2598960}$.

الآن، يتبقى حل المعادلة للعثور على قيمة X.