حساب احتمالية عيوب الأقلام: حلاقتنا مع الإحصاءات (مسألة رياضيات)

في صندوق يحتوي على 9 أقلام، هناك مجموع قدره 3 أقلام معيبة. إذا اشترى العميل 2 أقلام عشوائياً من الصندوق، ما هي احتمالية أن لا يكون أي منهما عيبًا؟

الحل:
لنحسب الاحتمالية المطلوبة. أولاً، يجب أن نحسب عدد الطرق التي يمكن بها اختيار 2 قلمًا من بين 9 أقلام. يتم ذلك باستخدام صيغة الاحتمال:

$^9C_2 = \frac{9!}{2!(9-2)!}$

حيث $^nC_r$ يعبر عن معامل الاختيار ويحسب بواسطة صيغة المثلث:

$^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

الآن سنعتبر حالتين: إما أن يتم اختيار قلمين غير معيبين أو يتم اختيار قلم معيب وآخر غير معيب. لحساب احتمالية عدم وجود أي قلم معيب، سنستخدم الصيغة:

$P(\text{لا عيب}) = P(\text{غير معيب}, \text{غير معيب}) + P(\text{معيب}, \text{غير معيب})$

ستكون الاحتماليات كالتالي:

$P(\text{لا عيب}) = \frac{6}{36} + \frac{3}{36}$

وهنا يمكننا تبسيط الكسور إلى:

$P(\text{لا عيب}) = \frac{9}{36}$

وأخيرًا، يمكننا تبسيط هذه الكسر إلى:

$P(\text{لا عيب}) = \frac{1}{4}$

إذا كانت الإجابة هي $\frac{1}{4}$ أو 25%.

لحل هذه المسألة، سنعتمد على مبادئ حساب الاحتمالات واستخدام مفهوم معامل الاختيار.

المعاملات المستخدمة:

1. معامل الاختيار ($^nC_r$): يستخدم لحساب عدد الطرق الممكنة لاختيار $r$ عنصرًا من بين مجموعة من $n$ عناصر. يُحسب بواسطة الصيغة:
   $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

   حيث $n!$ تعبر عن الضرب التسلسلي للأعداد من 1 إلى $n$.

2. قاعدة الجمع: تقول إنه عندما تكون هناك خيارات متعددة لحدوث حدث ما، يمكن جمع الاحتماليات الفردية لهذه الحالات للحصول على الاحتمالية الإجمالية.

3. قاعدة الضرب: تقول إنه عندما تكون هناك سلسلة من الأحداث المتسلسلة، يمكن ضرب الاحتماليات الفردية لكل حدث للحصول على احتمالية حدوث السلسلة ككل.

الحل:

1. حساب عدد الطرق الممكنة لاختيار 2 قلمًا من بين 9 أقلام باستخدام معامل الاختيار:
   $^9C_2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$

2. حساب احتمالية اختيار قلمين غير معيبين:
   $P(\text{غير معيب}, \text{غير معيب}) = \frac{6}{9} \times \frac{5}{8} = \frac{30}{72}$

3. حساب احتمالية اختيار قلم معيب وآخر غير معيب:
   $P(\text{معيب}, \text{غير معيب}) = \frac{3}{9} \times \frac{6}{8} = \frac{18}{72}$

4. جمع الاحتماليات الفردية:
   $P(\text{لا عيب}) = P(\text{غير معيب}, \text{غير معيب}) + P(\text{معيب}, \text{غير معيب})$
   $P(\text{لا عيب}) = \frac{30}{72} + \frac{18}{72} = \frac{48}{72}$

5. تبسيط الكسر:
   $P(\text{لا عيب}) = \frac{2}{3}$

باختصار، الاحتمالية أن لا يكون أي من القلمين معيبين هي $\frac{2}{3}$، وقد تم استخدام مفهوم معامل الاختيار وقوانين حساب الاحتمالات في الحل.