حساب احتمالية تساقط الثلج (مسألة رياضيات)

الاحتمالية لتساقط الثلج خلال كلٍ من الأيام الثلاثة المقبلة هي $\frac{2}{3}$. ما هي الاحتمالية التي سيتساقط فيها الثلج على الأقل مرة واحدة خلال تلك الأيام الثلاثة؟

لنحسب الاحتمالية العكسية، أي الاحتمالية التي لا يتساقط فيها الثلج على الإطلاق خلال الأيام الثلاثة. وهي $(1 – \frac{2}{3}) = \frac{1}{3}$.

الآن، لاحتمالية عدم تساقط الثلج في الأيام الثلاثة متتالية، نضرب الاحتماليات معًا:
$\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{27}.$

الآن، بما أننا حصلنا على احتمالية عدم تساقط الثلج على الإطلاق في الأيام الثلاثة، يمكننا حساب الاحتمالية المطلوبة لتساقط الثلج على الأقل مرة واحدة عبر طريقة الاحتمالية العكسية:

$1 – \frac{1}{27} = \frac{26}{27}.$

إذًا، الاحتمالية التي سيتساقط فيها الثلج على الأقل مرة واحدة خلال الأيام الثلاثة هي $\frac{26}{27}$.

لحل المسألة، نحتاج إلى استخدام مفهوم الاحتماليات وبعض القوانين الأساسية المتعلقة بحساب الاحتماليات. القوانين المستخدمة هي:

1. قانون الاحتمالية العكسية: هذا القانون يقول إن احتمالية حدوث حدث معين هو الاحتمالية المتبقية عندما نحسب الاحتمالية لعدم حدوث هذا الحدث.

2. قانون ضرب الاحتماليات: ينص هذا القانون على أنه عندما يكون لدينا سلسلة من الأحداث المستقلة، فإننا نحسب الاحتمال الإجمالي لحدوث هذه الأحداث جميعًا عن طريق ضرب الاحتماليات الفردية لكل حدث.

الآن، دعنا نحل المسألة بالتفصيل:

1. احتمالية عدم تساقط الثلج في يوم واحد هي $1 – \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
2. نحسب الاحتمالية لعدم تساقط الثلج في الأيام الثلاثة متتالية بواسطة قانون ضرب الاحتماليات:
   $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{27}.$
3. الآن، نستخدم قانون الاحتمالية العكسية لحساب الاحتمالية المطلوبة، أي احتمالية تساقط الثلج على الأقل مرة واحدة:
   $1 – \frac{1}{27} = \frac{26}{27}.$

بالتالي، الاحتمالية التي سيتساقط فيها الثلج على الأقل مرة واحدة خلال الأيام الثلاثة هي $\frac{26}{27}$.