حساب احتمالية التقاطع لأحداث مستقلة

بناءً على المعلومات المقدمة، نحن معينون بأن الحدث $A$ لديه احتمالية $P(A) = \frac{1}{5}$ والحدث $B$ لديه احتمالية $P(B) = \frac{2}{5}$. السؤال يطلب منا حساب احتمالية التقاطع بين هذين الحدثين $A$ و $B$ ($P(A \cap B)$) في حالة كونهما حدثين مستقلين.

لإعادة صياغة المسألة، يمكننا التعبير عن استقلال الحدثين باستخدام العبارة التالية: “إذا كانت حدثين $A$ و $B$ مستقلين، فإن حدوث أحدهما لا يؤثر على حدوث الآخر.”

الآن، سنقوم بحساب احتمالية التقاطع ($P(A \cap B)$) في حالة الاستقلال. في هذه الحالة، يمكننا استخدام الصيغة التالية:

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

حيث $P(A \cap B)$ هو احتمالية التقاطع بين $A$ و $B$. وباستخدام القيم المعطاة:

$P(A \cap B) = \frac{1}{5} \times \frac{2}{5}$

يمكننا حساب هذا المنتج الآن:

$P(A \cap B) = \frac{2}{25}$

إذا كانت الأحداث $A$ و $B$ مستقلتين، فإن احتمالية التقاطع بينهما ($P(A \cap B)$) هي $\frac{2}{25}$.

بالتأكيد، سنقوم بتوضيح الحل بشكل أكثر تفصيلاً وسنشرح القوانين التي تم استخدامها في هذا السياق.

المسألة تتعلق بحساب احتمالية التقاطع بين حدثين مستقلين $A$ و $B$. لنبدأ بتعريف بعض المفاهيم:

1. احتمالية الحدث $P(A)$: تعبر عن فرصة حدوث الحدث $A$.

2. احتمالية الحدث $P(B)$: تعبر عن فرصة حدوث الحدث $B$.

3. الاحتمالية المشتركة $P(A \cap B)$: تعبر عن فرصة حدوث الحدثين $A$ و $B$ معًا.

القوانين المستخدمة:

1. قانون الضرب للاحتماليات للأحداث المستقلة:
   $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

هذا القانون يُستخدم عندما تكون الأحداث مستقلة، حيث يمكن حساب احتمالية التقاطع ببساطة عن طريق ضرب احتمالية حدوث كل حدث على حدة.

الحل:

نقوم بتطبيق قانون الضرب للاحتماليات حيث:

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

نستخدم القيم المعطاة في المسألة:

$P(A \cap B) = \frac{1}{5} \times \frac{2}{5}$

نقوم بضرب الكسور:

$P(A \cap B) = \frac{2}{25}$

إذا كانت الأحداث $A$ و $B$ مستقلتين، فإن احتمالية التقاطع بينهما ($P(A \cap B)$) هي $\frac{2}{25}$. تمثل هذه الإجابة النهائية.