حساب احتمالية الأعداد الأولية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
ما هي احتمالية أن ندور الدائرة المصورة ونحصل على عدد أول؟ اعبر عن إجابتك بصورة كسر مشترك. إذا كنا نعرف أن الإجابة على السؤال السابق هي $\frac{1}{2}$، فما هي قيمة المتغير المجهول $X$؟

حل المسألة:
الدائرة المصورة تحتوي على ستة أرقام مختلفة: 1، 2، 3، 4، 5، 6. نحن نحتاج إلى تحديد أي من هذه الأرقام هي أعداد أولية.

الأعداد الأولية هي الأعداد التي لا يمكن قسمها على أي عدد سوى 1 ونفسها بدون بقايا. في الدائرة المصورة، الأعداد الأولية هي 2 و 3 و 5.

من بين الأرقام الموجودة على الدائرة، ثلاثة منها هي أعداد أولية (2، 3، 5). بالتالي، الاحتمالية للحصول على عدد أول هي عدد الأعداد الأولية مقسوما على إجمالي عدد الأرقام على الدائرة.

إذا كانت الاحتمالية مساوية لـ $\frac{1}{2}$، فإن العدد الإجمالي للأعداد الأولية يجب أن يكون مساويا للعدد الإجمالي للأرقام على الدائرة مقسوما على 2.

نعوض الأرقام الموجودة بقيمة $X$ ونجد العدد الإجمالي للأعداد:

$\frac{3}{X} = \frac{6}{2}$

نقوم بحل المعادلة للعثور على قيمة $X$:

$3 \times 2 = 6 \times X$
$6 = 6X$
$X = 1$

إذا، القيمة المجهولة $X$ تساوي 1.

لحل المسألة وتوضيحها بالتفصيل، دعنا نبدأ بتحليل السؤال واستخدام القوانين الأساسية في الاحتمالات.

المسألة تطلب حساب احتمالية الحصول على عدد أول عند دوران الدائرة المصورة. الدائرة تحتوي على ستة أرقام: 1، 2، 3، 4، 5، 6. والأعداد الأولية الممكنة هي: 2، 3، 5.

القوانين المستخدمة في الحل تتعلق بالاحتمالات وتشمل:

1. قانون الاحتمالات الكلية: يقول إن مجموع الاحتماليات لجميع النتائج الممكنة في أي تجربة يجب أن يساوي 1.

2. قانون الاحتمالية للحدث المستقلة: في حالة الأحداث المستقلة (وهي الحالة هنا حيث لا تؤثر نتيجة واحدة على الأخرى)، فإن احتمالية حدوث كل حدث هو الناتج من ضرب احتمالية كل حدث.

بناءً على هذه القوانين، نحن نحتاج إلى حساب عدد النتائج المناسبة للحصول على الأعداد الأولية وعدد النتائج الإجمالي في التجربة.

نحن نعرف أن الاحتمالية الإجمالية للحصول على عدد أول هي $\frac{1}{2}$. هذا يعني أن النسبة بين عدد الأعداد الأولية والناتج الإجمالي من الأرقام على الدائرة يجب أن تكون 1:2.

الآن نحن نستخدم القانون الأساسي للحساب:

إذاً، عدد الأعداد الأولية هو نصف الناتج الإجمالي. وبما أن الأعداد الأولية هي 3 (2، 3، 5)، فنجد أن الناتج الإجمالي يجب أن يكون 6.

القانون الأساسي للحساب يفيد بأن الأعداد الأولية تشكل نصف الناتج الإجمالي. لذا، نحصل على العملية التالية:

وهو الاحتمال الذي أعطي في السؤال. لحل المعادلة والعثور على قيمة $X$، نقوم بتمثيل العملية بمعادلة:

نحل المعادلة كما هو موضح في الإجابة السابقة ونجد أن $X$ تساوي 1.

هذا يشير إلى أن الدائرة تحتوي على عدد أول واحد فقط وهو العدد 3.