حساب احتمالية اختيار عامل لعدد 4! (مسألة رياضيات)

نُختار عددًا عشوائيًا من مجموعة الأعداد الطبيعية المتتالية {1، 2، 3، …، X}. ما هي احتمالية أن يكون العدد الذي تم اختياره عاملًا للعدد 4!؟

لحساب هذه الاحتمالية، نحتاج أولاً إلى معرفة مجموعة عوامل العدد 4! (وهو 24). عوامل 24 هي: 1، 2، 3، 4، 6، 8، 12، و 24. إذاً، هناك 8 عوامل.

الآن، نريد معرفة عدد الأعداد في المجموعة {1، 2، 3، …، X} التي تكون عوامل للعدد 24. لاحظ أن هذه الأعداد هي تلك التي تقع في مجموعة العوامل التي ذكرناها سابقًا.

إذاً، يجب أن يكون العدد X كبيرًا بما يكفي لضمان تواجد جميع العوامل. لنحدد قيمة X، نعتمد على أن الاحتمالية المعطاة هي 1/3. لنجد قيمة X، يمكننا استخدام النسبة التالية:

$\frac{\text{عدد العوامل المطلوبة}}{\text{إجمالي عدد الأعداد في المجموعة}} = \frac{8}{X}$

وهذا يُعادل الاحتمالية المعطاة 1/3. لحساب قيمة X، نقوم بحل المعادلة التالية:

$\frac{8}{X} = \frac{1}{3}$

نقوم بضرب الطرفين في 3X للتخلص من المقام في الجهة اليمنى:

$3 \times 8 = X$

$24 = X$

إذاً، قيمة المتغير X هي 24.

في هذه المسألة، نواجه تحليل احتمالية اختيار عدد عشوائي من بين مجموعة الأعداد الطبيعية المتتالية وكونه عاملاً لعدد 4!. سنقوم بحل المسألة باستخدام قوانين الاحتمال والعوامل الرياضية.

أولاً وقبل البدء في حل المسألة، دعونا نستعرض العوامل لعدد 4! (وهو 24):

$1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$

الآن، نحتاج إلى معرفة عدد العوامل المطلوبة في مجموعة الأعداد المتتالية {1، 2، 3، …، X} حتى يكونوا عوامل للعدد 24. هذه الأعداد هي تلك التي تظهر في القائمة أعلاه.

القوانين المستخدمة:

1. قانون الاحتمال:
   $\text{احتمالية حدوث حدث} = \frac{\text{عدد النواحي المرغوبة}}{\text{إجمالي عدد النواحي}}$

2. العوامل الرياضية:

   • تحديد العوامل للعدد 4!
   • حساب قيمة متغير X باستخدام المعادلة.

الحل:

نعلم أن الأعداد المطلوبة هي: 1، 2، 3، 4، 6، 8، 12، 24. وهي تمثل 8 أعداد.

إذاً، الاحتمالية هي:

$P(\text{عدد مختار هو عامل لـ 4!}) = \frac{\text{عدد النواحي المرغوبة}}{\text{إجمالي عدد النواحي}} = \frac{8}{X}$

ونعلم أن هذه الاحتمالية تساوي $\frac{1}{3}$. إذاً:

$\frac{8}{X} = \frac{1}{3}$

لحل هذه المعادلة، نقوم بضرب الطرفين في $X$ للتخلص من المقام في الجهة اليمنى:

$3 \times 8 = X$

$24 = X$

إذاً، قيمة المتغير $X$ هي 24.