حساب احتمالات رمي النردين (مسألة رياضيات)

مسألة الاحتمالات لرمي النردين:

لنفترض أن لدينا نردين، كل منهما يحتوي على 4 وجوه مرقمة من 1 إلى 4. الهدف هو حساب الاحتمال أن يكون مجموع وجوه النردين يساوي 5 في الرمي الأول، ثم يكون 5 مرة أخرى في الرمي الثاني.

للحصول على مجموع وجوه يساوي 5 في الرمي الأول، يمكننا استخدام الأزواج التالية: (1, 4)، (2, 3)، (3, 2)، (4, 1). إذا كان هناك اثنان من هذه الأزواج يظهران في الرمي الأول، سنحقق الهدف.

الأزواج التي يمكن أن تظهر في الرمي الثاني لتكون المجموع 5 هي نفس الأزواج: (1, 4)، (2, 3)، (3, 2)، (4, 1).

لحساب الاحتمال، يجب ضرب احتمال حدوث الحالتين. لذا،

$P(\text{مجموع 5 في الرمي الأول والرمي الثاني}) = P(\text{مجموع 5 في الرمي الأول}) \times P(\text{مجموع 5 في الرمي الثاني})$

حيث:

$P(\text{مجموع 5 في الرمي الأول}) = P(\text{ظهور إحدى الأزواج الصحيحة}) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

ونظراً لأن الأحداث مستقلة،

$P(\text{مجموع 5 في الرمي الثاني}) = P(\text{ظهور إحدى الأزواج الصحيحة}) = \frac{1}{4}$

الآن، يمكننا حساب الاحتمال الإجمالي:

$P(\text{مجموع 5 في الرمي الأول والرمي الثاني}) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$

إذاً، الاحتمال أن يكون مجموع وجوه النردين يساوي 5 في الرمي الأول والرمي الثاني هو $\frac{1}{16}$.

لحل هذه المسألة الرياضية، سنستخدم مبدأ ضرب الاحتمالات وقوانين الاحتمال. دعونا نقسم الحل إلى خطوات لتوضيح العملية.

الخطوة 1: تحديد المساحة العينية (Sample Space)
في هذه المسألة، لدينا نردين، وكل منهما له 4 وجوه. لذا، إذا كنا نلقي النردين، هناك $4 \times 4 = 16$ نتيجة ممكنة في المساحة العينية.

الخطوة 2: تحديد الأحداث المطلوبة
الهدف هو أن يكون مجموع وجوه النردين يساوي 5 في الرمي الأول والرمي الثاني. لذا، سنحتاج إلى تحديد الأزواج الممكنة التي تحقق هذا الهدف.

في الرمي الأول، يمكن أن يكون لدينا الأزواج: (1, 4)، (2, 3)، (3, 2)، (4, 1)، وهي 4 أزواج.

وفي الرمي الثاني، سنحتاج أيضًا إلى أزواج مماثلة لتحقيق مجموع 5.

الخطوة 3: حساب الاحتمالات

• لحساب احتمال الرمي الأول بحيث يكون مجموع وجوه النردين يساوي 5، نقسم عدد الأزواج الملائمة على إجمالي النتائج الممكنة: $\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.

• بسبب استقلال الرمي الثاني من الرمي الأول، نستخدم نفس الاحتمال: $\frac{1}{4}$.

الخطوة 4: استخدام مبدأ ضرب الاحتمالات
نحسب الاحتمال الإجمالي بضرب احتمال الحدوث في الرمي الأول في احتمال الحدوث في الرمي الثاني:

$P(\text{مجموع 5 في الرمي الأول والرمي الثاني}) = P(\text{مجموع 5 في الرمي الأول}) \times P(\text{مجموع 5 في الرمي الثاني})$

$= \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$

القوانين المستخدمة:

1. مبدأ ضرب الاحتمالات: يُستخدم لحساب احتمال حدوث سلسلة من الأحداث المستقلة.
2. قانون الإحتمال: يُستخدم لتحديد احتمال حدوث حالة معينة، وهو النسبة بين عدد النتائج الملائمة وإجمالي النتائج الممكنة.