حساب احتمالات اليانصيب: تحليل مسألة الأرقام

في سحب في سحب اليانصيب معينة، فإن احتمالية أن يتم اختيار رقم بين 1 و 15، بما في ذلك هذين الرقمين، هي 1/3. إذا كانت احتمالية اختيار رقم 1 أو أكبر هي 2/3، فما هي احتمالية اختيار رقم أقل من أو يساوي 15؟

لحل هذه المسألة، يمكننا الاستفادة من المعلومات المقدمة. إذا كانت احتمالية اختيار رقم 1 أو أكبر هي 2/3، فإن احتمالية اختيار رقم أقل من 1 هي 1 – 2/3، وهذا يكون يساوي 1/3.

الآن، نعلم أن احتمالية اختيار رقم بين 1 و 15 (بما في ذلك 1 و 15) هي 1/3. إذا كنا نريد معرفة احتمالية اختيار رقم أقل من أو يساوي 15، يمكننا جمع احتماليات اختيار أقل من 1 وبين 1 و 15. وبما أن احتمالية اختيار رقم أقل من 1 هي 1/3، واحتمالية اختيار رقم بين 1 و 15 هي أيضًا 1/3، فإن إجمالي الاحتمال يكون:

1/3 + 1/3 = 2/3

إذا كانت الإجابة على السؤال هي 2/3.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم الاحتمالية وبعض القوانين المتعلقة بها. القوانين المستخدمة تتضمن قانون جمع الاحتمالات والفرق بين الاحتمالين. الهدف هو تحديد احتمالية اختيار رقم أقل من أو يساوي 15.

لنقم بتحليل المعطيات:

• الاحتمالية الأولى: اختيار رقم 1 أو أكبر هي 2/3.
• الاحتمالية الثانية: اختيار رقم بين 1 و 15، بما في ذلك 1 و 15، هي 1/3.

القانون الأول الذي سنستخدمه هو قانون جمع الاحتمالات:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$

حيث أن $A$ هو حدوث الحدث الأول (اختيار رقم 1 أو أكبر)، و $B$ هو حدوث الحدث الثاني (اختيار رقم بين 1 و 15).

الآن، لنقم بحساب احتمال اختيار رقم أقل من 1:
$P(\text{“رقم أقل من 1”}) = 1 – P(\text{“رقم 1 أو أكبر”})$
$= 1 – \frac{2}{3}$
$= \frac{1}{3}$

القانون الثاني الذي سنستخدمه هو قانون جمع الاحتمالات بالنسبة للاحتمالية الثانية:
$P(\text{“رقم بين 1 و 15”}) = P(\text{“رقم 1 أو أكبر”}) + P(\text{“رقم بين 1 و 15”}) – P(\text{“رقم 1 أو أكبر وبين 1 و 15”})$
$= \frac{2}{3} + \frac{1}{3} – P(\text{“رقم 1 أو أكبر وبين 1 و 15”})$

نعلم أن $P(\text{“رقم 1 أو أكبر وبين 1 و 15”}) = P(\text{“رقم 1 أو أكبر”})$ لأن الفرق بينهما يكون رقم 1، والذي يتمثل في حالة اختيار رقم 1. لذا:

$P(\text{“رقم بين 1 و 15”}) = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} – \frac{2}{3}$
$= \frac{1}{3}$

إذا كانت الإجابة النهائية على السؤال هي 1/3.