حساب إيرادات التيليثون مع متغير مجهول (مسألة رياضيات)

لدينا جون الذي يدير هاتفًا تلفزيونيًا لجمع التبرعات. في الساعات الأولى 12، يجمع 5000 دولار في الساعة، وفي الـ 14 ساعة اللاحقة، يجمع مبلغًا إضافيًا بنسبة x٪ لكل ساعة. السؤال هو: كم المبلغ الإجمالي الذي يحققه جون؟ إذا كانت الإجابة معروفة وتساوي 144000، فما هي قيمة المتغير المجهول x؟

الحل:
لحساب المبلغ الإجمالي الذي يحققه جون، نقوم بجمع المبالغ التي يجنيها في الفترتين الزمنيتين.

للفترة الأولى (الساعات الأولى 12):
$\text{المبلغ} = \text{عدد الساعات} \times \text{المبلغ لكل ساعة} = 12 \times 5000$

للفترة الثانية (الساعات اللاحقة 14):
$\text{المبلغ} = \text{عدد الساعات} \times (\text{المبلغ لكل ساعة} + (\text{x}\% \times \text{المبلغ لكل ساعة}))$

إذاً، المبلغ الإجمالي:
$\text{المبلغ الإجمالي} = 12 \times 5000 + 14 \times (\text{المبلغ لكل ساعة} + (\text{x}\% \times \text{المبلغ لكل ساعة}))$

ونعلم أن الإجابة الإجمالية تساوي 144000:
$144000 = 12 \times 5000 + 14 \times (\text{المبلغ لكل ساعة} + (\text{x}\% \times \text{المبلغ لكل ساعة}))$

الآن يمكننا حساب قيمة المتغير المجهول x من هذه المعادلة. ولكن لتبسيط العملية، دعونا نحسب قيمة المبلغ لكل ساعة في الفترة الثانية بناءً على المعلومات المتاحة. سنقوم بحساب الفارق بين المبلغين للساعة الواحدة في الفترتين ونضيفه إلى المبلغ الأصلي للساعة الواحدة في الفترة الأولى. سنسمي هذا الفارق $\text{الزيادة}$.

$\text{الزيادة} = \text{المبلغ لكل ساعة} \times \left(1 + \frac{x}{100}\right) – \text{المبلغ لكل ساعة}$

ثم، نستخدم قيمة الزيادة في معادلة المبلغ الإجمالي:

$144000 = 12 \times 5000 + 14 \times (\text{المبلغ لكل ساعة} + \text{الزيادة})$

الآن يمكننا حل هذه المعادلة للعثور على قيمة x.

لنقم بحل المعادلة والعثور على قيمة المتغير المجهول $x$ في المسألة المعطاة. للقيام بذلك، سنبدأ بتوسيع المعادلة وحساب القيم.

لنعيد كتابة المعادلة الكلية:
$144000 = 12 \times 5000 + 14 \times (\text{المبلغ لكل ساعة} + \text{الزيادة})$

نعلم أن:
$\text{الزيادة} = \text{المبلغ لكل ساعة} \times \left(1 + \frac{x}{100}\right) – \text{المبلغ لكل ساعة}$

بدلاً من تعويض القيم مباشرة، سنستخدم القوانين التالية:

1. قانون الجمع والضرب:
   $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$

2. قانون التوزيع:
   $a \times (b – c) = a \times b – a \times c$

لنبدأ بتوسيع المعادلة:

$144000 = 12 \times 5000 + 14 \times (\text{المبلغ لكل ساعة} + \text{الزيادة})$

$144000 = 60000 + 14 \times (\text{المبلغ لكل ساعة} + \text{الزيادة})$

الآن، سنواجه المعادلة التالية:

$84000 = 14 \times (\text{المبلغ لكل ساعة} + \text{الزيادة})$

لنستمر في توسيع المعادلة باستخدام قانون التوزيع:

$84000 = 14 \times \text{المبلغ لكل ساعة} + 14 \times \text{الزيادة}$

وباستخدام قيمة الزيادة التي حسبناها:

$84000 = 14 \times \text{المبلغ لكل ساعة} + 14 \times \left(\text{المبلغ لكل ساعة} \times \left(1 + \frac{x}{100}\right) – \text{المبلغ لكل ساعة}\right)$

الآن نستطيع إيجاد قيمة $x$ عبر حل المعادلة. يمكننا أولاً تبسيط الجهة اليمنى من المعادلة، ثم حساب قيمة $x$ بتجزئة المعادلة.