حساب إسقاط القطعة في الرياضيات (مسألة رياضيات)

إذا كانت القواطع $\mathbf{v}$ و $\mathbf{w}$ لها مقادير 3 و 7 على التوالي، وكانت حاصل الضرب الداخلي بينهما يساوي 10، فما هو مقدار الإسقاط للقطعة $\mathbf{v}$ على $\mathbf{w}$؟

لنبدأ بتعريف الإسقاط العمودي للقطعة $\mathbf{v}$ على $\mathbf{w}$، والذي يُعبر عنه بـ $\text{proj}_\mathbf{w}(\mathbf{v})$. يمكن حساب الإسقاط العمودي باستخدام الصيغة التالية:

$\text{proj}_\mathbf{w}(\mathbf{v}) = \left( \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}}{\| \mathbf{w} \| ^2} \right) \mathbf{w}$

حيث:

• $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}$ هو حاصل الضرب الداخلي بين القطعتين $\mathbf{v}$ و $\mathbf{w}$.
• $\| \mathbf{w} \|$ هو مقدار القطعة $\mathbf{w}$.

نعطي القيم التي لدينا:

• مقدار القطعة $\mathbf{v}$ هو 3.
• مقدار القطعة $\mathbf{w}$ هو 7.
• حاصل الضرب الداخلي بين $\mathbf{v}$ و $\mathbf{w}$ هو 10.

الآن، لنحسب الإسقاط العمودي للقطعة $\mathbf{v}$ على $\mathbf{w}$ باستخدام الصيغة المذكورة:

$\text{proj}_\mathbf{w}(\mathbf{v}) = \left( \frac{10}{\| \mathbf{w} \| ^2} \right) \mathbf{w}$

ولكن قبل أن نحسب القيمة، يجب أولاً حساب مقدار $\| \mathbf{w} \| ^2$، والذي يكون:

$\| \mathbf{w} \| ^2 = 7^2 = 49$

الآن، نستخدم هذه القيمة لحساب الإسقاط العمودي:

$\text{proj}_\mathbf{w}(\mathbf{v}) = \left( \frac{10}{49} \right) \times 7$

$\text{proj}_\mathbf{w}(\mathbf{v}) = \frac{70}{49}$

$\text{proj}_\mathbf{w}(\mathbf{v}) \approx 1.43$

إذاً، مقدار الإسقاط للقطعة $\mathbf{v}$ على $\mathbf{w}$ حوالي 1.43.

في هذه المسألة، نحن بحاجة إلى حساب مقدار الإسقاط للقطعة $\mathbf{v}$ على $\mathbf{w}$. لحل هذه المسألة، نحتاج إلى استخدام العلاقات الرياضية المتعلقة بالضرب الداخلي والإسقاط العمودي.

القوانين المستخدمة:

1. الضرب الداخلي (Dot Product):
   يُعرف الضرب الداخلي بين القطعتين $\mathbf{v}$ و $\mathbf{w}$ على النحو التالي:
   $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \| \mathbf{v} \| \| \mathbf{w} \| \cos \theta$
   حيث $\| \mathbf{v} \|$ و $\| \mathbf{w} \|$ هما مقدار القطعتين، و $\theta$ هو الزاوية بينهما.

2. إسقاط القطعة على الأخرى (Projection):
   يُمثل إسقاط القطعة $\mathbf{v}$ على $\mathbf{w}$ بالصيغة التالية:
   $\text{proj}_\mathbf{w}(\mathbf{v}) = \left( \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}}{\| \mathbf{w} \| ^2} \right) \mathbf{w}$

الآن، سنستخدم هذه القوانين لحساب الإسقاط العمودي للقطعة $\mathbf{v}$ على $\mathbf{w}$:

1. نحسب حاصل الضرب الداخلي بين القطعتين $\mathbf{v}$ و $\mathbf{w}$.
2. نقوم بتقسيم الناتج على مربع مقدار القطعة $\mathbf{w}$.
3. نضرب الناتج بقطعة $\mathbf{w}$ للحصول على الإسقاط العمودي للقطعة $\mathbf{v}$ على $\mathbf{w}$.

بعد ذلك، سنستخدم القيم المعطاة في المسألة:

• مقدار القطعة $\mathbf{v}$ هو 3.
• مقدار القطعة $\mathbf{w}$ هو 7.
• حاصل الضرب الداخلي بين $\mathbf{v}$ و $\mathbf{w}$ هو 10.

بعد حساب القيم، نستخدم الصيغة المذكورة أعلاه لحساب الإسقاط العمودي. ثم نحسب قيمة الإسقاط العمودي للقطعة $\mathbf{v}$ على $\mathbf{w}$ باستخدام القيم المعطاة.

هذا النهج يسمح لنا بحل المسألة بشكل دقيق وتفصيلي باستخدام القوانين الأساسية للجبر الخطي والهندسة الرياضية.