حساب إحداثي $z$ لنقطة على خط في الفضاء. (مسألة رياضيات)

نريد أن نجد إحداثي $z$ لنقطة على الخط الذي يمر عبر $(2,2,1)$ و $(5,1,-2)$ عندما يكون إحداثي $x$ يساوي 4.

لنجد المعادلة العامة للخط باستخدام نقطتين مختلفتين عليه. الاتجاه الذي نريد تحديده هو فارق الإحداثيات بين النقطتين. هكذا:

وبالتالي، اتجاه الخط هو $3i – j – 3k$.

الآن نحن بحاجة إلى تعيين المعادلة المعلمية للخط باستخدام النقطة $(2,2,1)$ والاتجاه الذي حددناه. لنقوم بذلك:

حيث $t$ هو المعامل المعرف على طول الخط.

الآن، عندما يكون $x = 4$، نقوم بحساب قيمة $t$:

$4 = 2 + 3t \implies t = \frac{4 – 2}{3} = \frac{2}{3}$

وبعد ذلك، نستخدم قيمة $t$ لحساب الإحداثي $z$ للنقطة:

$z = 1 – 3 \times \frac{2}{3} = 1 – 2 = -1$

إذاً، إحداثي $z$ للنقطة على الخط عندما $x = 4$ هو $-1$.

لحل هذه المسألة، نحن بحاجة إلى استخدام مفهوم معادلة الخط في الفضاء الثلاثي. نستخدم النقطتين المعطاة $(2,2,1)$ و $(5,1,-2)$ لتحديد اتجاه الخط ونقوم بإيجاد معادلة خط يمر عبر هذه النقطتين.

القوانين المستخدمة في الحل هي:

1. مفهوم اتجاه الخط واستخدام فارق الإحداثيات لتحديد الاتجاه.
2. معادلة خط في الفضاء الثلاثي.
3. استخدام نقطة واحدة على الخط مع اتجاهه لإنشاء المعادلة الخطية.

الآن، لنبدأ بتحديد اتجاه الخط الذي يمر بين النقطتين المعطاة:

لذا، الاتجاه هو $3i – j – 3k$.

ثم، نستخدم أحد النقطتين مع الاتجاه لكتابة المعادلة العامة للخط. للقيام بذلك، نستخدم النقطة $(2,2,1)$:

$x = 2 + 3t, \quad y = 2 – t, \quad z = 1 – 3t$

حيث $t$ هو المعامل المعرف على طول الخط.

الآن، عندما يكون $x = 4$، نحسب قيمة $t$:

$4 = 2 + 3t \implies t = \frac{4 – 2}{3} = \frac{2}{3}$

وأخيرًا، نستخدم قيمة $t$ لحساب إحداثي $z$ للنقطة:

$z = 1 – 3 \times \frac{2}{3} = 1 – 2 = -1$

وبالتالي، إحداثي $z$ للنقطة على الخط عندما $x = 4$ هو $-1$.