حساب إحداثيات ومركز دائرة رياضية (مسألة رياضيات)

معادلة الدائرة هي $x^2+y^2=8x-6y-20$. لحساب مركز الدائرة، يجب تمثيل المعادلة بشكل قياسي للدائرة، الذي يكون عادة على النحو التالي: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$، حيث $(a,b)$ هي إحداثيات مركز الدائرة، و $r$ هو شعاع الدائرة.

لتحويل المعادلة المعطاة إلى هذا الشكل، نقوم بإكمال المربعين للحصول على التكوين المطلوب. نبدأ بإضافة $(-8/2)^2$ إلى الجزء الخاص ب $x$ و $(-(-6)/2)^2$ إلى الجزء الخاص ب $y$:

الآن نقوم بكتابة المعادلة بشكل الدائرة القياسي:

من هنا نستنتج أن مركز الدائرة هو $(-4,-3)$ وشعاع الدائرة هو $\sqrt{45}$. السؤال يطلب حساب $x+y$، لذلك نقوم بجمع إحداثيات مركز الدائرة:

إذاً، القيمة المطلوبة هي $-7$.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتحويل معادلة الدائرة إلى شكل الدائرة القياسي ومن ثم نحسب إحداثيات مركز الدائرة ونستخدمها للحصول على القيمة المطلوبة.

المعادلة الأصلية للدائرة هي:

$x^2 + y^2 = 8x – 6y – 20$

نقوم بإكمال المربعين على كلا الجانبين للحصول على شكل الدائرة القياسي. نقوم بإضافة $(8/2)^2$ إلى الجزء الخاص بـ $x$ وإضافة $(-(-6)/2)^2$ إلى الجزء الخاص بـ $y$:

الآن، نكتب المعادلة بشكل الدائرة القياسي:

من هنا، يمكننا مقارنة المعادلتين للوصول إلى إحداثيات مركز الدائرة. يكون لدينا:

$a = -4$ (من $x + a$)

$b = 3$ (من $y – b$)

المعادلة القياسية للدائرة هي:

$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2$

حيث $r$ هو شعاع الدائرة. في هذه الحالة، $r = \sqrt{45}$.

الآن نحسب $x + y$ بجمع إحداثيات مركز الدائرة:

$x + y = -4 + 3 = -1$

إذًا، قمنا باستخدام القوانين الرياضية لتحويل المعادلة وايجاد مركز الدائرة، وبناءً على ذلك حسبنا قيمة $x + y$ باستخدام إحداثيات مركز الدائرة.