حساب أكبر مشترك بين 5! و 7! (مسألة رياضيات)

العبارة الرياضية المطلوبة هي: “ما هو أكبر مشترك للعوامل بين $5!$ و $7!$؟”

حل المسألة:
لحساب أكبر مشترك للعوامل (أو القاسم المشترك الأكبر) بين $5!$ و $7!$، يمكننا أولاً حساب قيمة كل واحدة من هاتين العوامل.

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$

الآن، سنقوم بتحليل القيمتين للبحث عن العوامل المشتركة بينهما. نجد أن العوامل المشتركة هي $2$ و $3$ و $5$، ولكن لنجد العامل المشترك الأكبر، نحتاج إلى اختيار الأصغر من الأسس التي تظهر في العاملين.

$2$ يظهر في العاملين، ولكن $3$ يظهر مرتين في $5!$ بينما يظهر مرة واحدة في $7!$. أما $5$ فيظهر مرة واحدة في $5!$ ومرة أخرى في $7!$.

إذاً، العامل المشترك الأكبر هو $2 \times 3 \times 5 = 30$.

إذاً، أكبر مشترك للعوامل بين $5!$ و $7!$ هو $30$.

لحساب أكبر مشترك للعوامل بين $5!$ و $7!$، نحتاج إلى تحليل كل واحدة من هاتين القيم. دعونا نستعرض الخطوات بالتفصيل:

1. حساب $5!$:
   $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

2. حساب $7!$:
   $7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$

الآن، سنقوم بتحليل القيمتين للبحث عن العوامل المشتركة. نستخدم قوانين الحساب العددي وقوانين الأعداد الأولية في هذا السياق. إليك القوانين المستخدمة:

• قاعدة الضرب:
  إذا كان لدينا عامل مشترك بين العددين، نستطيع ضربه للحصول على العامل المشترك الأكبر.

• تحليل الأعداد إلى أعداد أولية:
  نقوم بتحليل الأعداد إلى عواملها الأولية للبحث عن العوامل المشتركة.

• اختيار الأقل:
  عند وجود عامل مشترك بين العددين، نختار العامل الأقل في الأس أو التكرار.

الآن، لنحدد العوامل المشتركة بين $5!$ و $7!$:

• العامل المشترك $2$ يظهر في كل منهما.

• العامل المشترك $3$ يظهر مرتين في $5!$ بينما يظهر مرة واحدة في $7!$.

• العامل المشترك $5$ يظهر مرة واحدة في $5!$ ومرة أخرى في $7!$.

الآن، نقوم بضرب هذه العوامل المشتركة:
$2 \times 3 \times 5 = 30$

إذًا، العامل المشترك الأكبر بين $5!$ و $7!$ هو $30$.