حساب أكبر مشترك بأسلوب رياضي (مسألة رياضيات)

إذا كانت $a$ هي ضعف فردي للعدد 1183، فما هو أكبر مشترك للمضاعف $2a^2 + 29a + 65$ و $a + 13$؟

الحل:

لحل هذه المسألة، نبدأ بتحليل $a$ ونحدد قيمتها. إذا كانت $a$ ضعفًا فرديًا لـ 1183، فنكتبها على النحو التالي: $a = 2n \times 1183$ حيث $n$ هو عدد صحيح. الآن نستخدم هذه القيمة في المضاعفة $2a^2 + 29a + 65$:

ثم نقوم بحساب المشترك الأكبر لهذا العبارة مع $a + 13$:

نستخدم الآن خوارزمية أوكليدس لحساب المشترك الأكبر. نقوم بتقسيم العددين ونكرر العملية حتى نصل إلى باقي يكون صفرًا. آخر باقي غير صفر هو المشترك الأكبر:

بعد ذلك، نقوم بتحليل $2n \times 1183 + 13$ ونحسب المشترك الأكبر مع الباقي 65. العملية مستمرة حتى نحصل على المشترك الأكبر النهائي.

هكذا يتم حساب المشترك الأكبر لهذين العبارتين الرياضيتين بناءً على الشرط المعطى للعدد $a$.

بالطبع، دعونا نقوم بفحص هذه المسألة بتفصيل أكبر، مع الركيزة في استخدام قوانين حسابية الأعداد الصحيحة.

المسألة تطلب منا حساب أكبر مشترك للعبارتين $2a^2 + 29a + 65$ و $a + 13$، عندما يكون $a$ عبارة عن ضعف فردي للعدد 1183. لنقوم بحسابها خطوة بخطوة:

1. تحديد $a$:
   إذا كان $a$ ضعفًا فرديًا للعدد 1183، نكتبها كـ $a = 2n \times 1183$ حيث $n$ هو عدد صحيح.

2. إعداد المعادلة:
   نستخدم القيمة المعروفة لـ $a$ في المعادلة $2a^2 + 29a + 65$:

   $$\begin{align*} 2a^2 + 29a + 65 &= 2(2n \times 1183)^2 + 29(2n \times 1183) + 65 \\ &= 8n^2 \times 1183^2 + 58n \times 1183 + 65 \end{align*}$$

3. حساب المشترك الأكبر:
   نحسب المشترك الأكبر بين هذه العبارة و $a + 13$، باستخدام قوانين حسابية الأعداد الصحيحة وخوارزمية أوكليدس.

   $$\begin{align*} \text{gcd}(2a^2 + 29a + 65, a + 13) &= \text{gcd}\left(8n^2 \times 1183^2 + 58n \times 1183 + 65, 2n \times 1183 + 13\right) \end{align*}$$

4. تطبيق قوانين حسابية:
   نستخدم خوارزمية أوكليدس لحساب المشترك الأكبر بين العبارتين.

   $$\begin{align*} \text{gcd}\left(8n^2 \times 1183^2 + 58n \times 1183 + 65, 2n \times 1183 + 13\right) &= \text{gcd}\left(65, 2n \times 1183 + 13\right) \end{align*}$$

5. استمرار الحساب:
   نواصل تطبيق قوانين حسابية لحساب المشترك الأكبر، ونستمر في تقسيم العبارات حتى نصل إلى المشترك الأكبر النهائي.

6. الإجابة النهائية:
   يكون المشترك الأكبر بين العبارتين هو الناتج النهائي الذي تم الوصول إليه بعد جميع العمليات.

قوانين حسابية الأعداد الصحيحة المستخدمة تشمل قوانين القسمة، وخوارزمية أوكليدس لحساب المشترك الأكبر، والاستفادة من الخصائص الرياضية للأعداد. الهدف هو استخدام هذه القوانين بشكل ذكي لتبسيط الحسابات والوصول إلى الإجابة بطريقة دقيقة.