حساب أكبر قيمة لـ x باستخدام اللوغاريتم (مسألة رياضيات)

إذا كانت $x$ عددًا صحيحًا وإذا كانت $2.134 \times 10^x$ أقل من 21,000، فما هو أكبر قيمة ممكنة لـ $x$؟

لحل هذه المسألة، نقوم بوضع التعبير $2.134 \times 10^x < 21,000$ ونحاول إيجاد قيمة $x$ المطلوبة.

لنبسط العملية، يمكننا تجاوز الجزء العشري للعدد 2.134 والتعامل مباشرةً مع $2134 \times 10^x < 21,000$.

الآن، نقوم بقسمة الطرفين على 2134:
$10^x < \frac{21,000}{2134}$

نحسب القيمة عند الجهة اليمنى:
$10^x < 9.842$

لحل هذا، نستخدم اللوغاريتم الطبيعي:
$x < \log_{10}(9.842)$

قيمة اللوغاريتم الطبيعي للعدد 9.842 هي حوالي 0.993.

إذًا:
$x < 0.993$

لكن نحن نبحث عن أكبر قيمة لـ $x$، لذا نقوم بتقريب القيمة إلى أقرب عدد صحيح أقل منها. يكون ذلك:
$x \leq 0$

لذلك، القيمة الأكبر الممكنة لـ $x$ هي 0.

لنقم بحل المسألة بشكل أكثر تفصيلاً باستخدام القوانين الرياضية واللوغاريتمات. الهدف هو إيجاد أكبر قيمة ممكنة لـ $x$ بناءً على الشرط $2.134 \times 10^x < 21,000$.

المعادلة الأساسية هي:
$2.134 \times 10^x < 21,000$

لتبسيط العملية، نقوم بتجاوز الجزء العشري ونتعامل مباشرةً مع $2134 \times 10^x < 21,000$.

نقسم الطرفين على 2134:
$10^x < \frac{21,000}{2134}$

نقوم بحساب القيمة على الجهة اليمنى:
$10^x < 9.842$

الآن، للتخلص من الأس، نستخدم اللوغاريتم الطبيعي (قاعدة اللوغاريتم هي 10 في هذه الحالة):
$\log_{10}(10^x) < \log_{10}(9.842)$

ومن ثم:
$x \cdot \log_{10}(10) < \log_{10}(9.842)$

لكن $\log_{10}(10)$ تكون تساوي 1، لذا:
$x < \log_{10}(9.842)$

نقوم بحساب اللوغاريتم:
$x < 0.993$

لكن نحن نبحث عن أكبر قيمة لـ $x$، لذا نقوم بتقريب القيمة إلى أقرب عدد صحيح أقل منها، وهو:
$x \leq 0$

القوانين المستخدمة:

1. خواص الأسس: تم استخدام قاعدة أسية لتبسيط المعادلة.
2. قانون اللوغاريتم: تم استخدام اللوغاريتم للتخلص من الأس وتحويل المعادلة إلى معادلة لـ $x$.
3. القوانين الأساسية للجبر: تم استخدام قواعد الجبر في حسابات الطرفين والتقريب.

بهذا الشكل، تم حل المسألة باستخدام القوانين الرياضية المعتادة بطريقة تفصيلية.