حساب أكبر عدد للعامل 3 في تسلسل الأعداد (مسألة رياضيات)

إذا كانت $p$ هي حاصل ضرب الأعداد من 1 إلى 32 بما في ذلكها، فما هو أكبر عدد صحيح $k$ بحيث يكون $3^k$ عاملًا لـ $p$؟

لحل هذه المسألة، نبدأ بتحليل $p$، حاصل الضرب من 1 إلى 32:

$p = 1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times 32$

نحتاج إلى معرفة كم عدد 3 يمكن أن يكون لدينا كعوامل في $p$. يمكننا تحليل كل عامل 3 في العددون في التسلسل. على سبيل المثال:

$3, 6, 9, 12, \ldots, 30$

نرى أن لدينا 10 أعداد (3, 6, 9، إلخ) تحتوي على عامل 3. ولكن هناك أيضًا أعداد أكبر تحتوي على أكثر من عامل واحد 3، مثل 9 (3 × 3) و 27 (3 × 3 × 3) وهكذا. لذا، يمكننا تحديد عدد الأعداد التي تحتوي على عوامل 3 بشكل كلي بطرح 10 (عدد الأعداد الفردية) من عدد الأعداد الكلي (32) وإضافة عدد الأعداد التي تحتوي على مزيد من عوامل 3.

$k = 32 – 10 + 5$

حيث أننا أضفنا 5 لأن هناك 5 أعداد تحتوي على عاملين 3 (9, 27) ويجب أن يتم احتسابهما مرتين.

$k = 27$

إذاً، أكبر عدد صحيح $k$ هو 27.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتحليل حاصل الضرب $p$ ونستخدم القوانين التي تتعلق بتحليل العدد وتحديد عوامله. لنبدأ بتحليل $p$:

$p = 1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times 32$

لنتأكد من كمية عوامل 3 في $p$، نستعرض الأعداد من 1 إلى 32 ونحسب كم عدد 3 في كل عدد. إذا كان لدينا العدد 3 في العدد، نحسبه مرة واحدة، وإذا كان لدينا أكثر من عامل واحد 3 في العدد (مثل 9، 27، إلخ)، نحسبها أكثر من مرة. لنبدأ:

$3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30$

نرى أن هناك 10 أعداد تحتوي على عامل 3. ولكن يجب أن نحتسب أيضا الأعداد التي تحتوي على أكثر من عامل واحد 3:

$9 (3 \times 3), 12 (3 \times 2 \times 2), 15 (3 \times 5), 18 (3 \times 2 \times 3), 21 (3 \times 7), 24 (3 \times 2 \times 2 \times 2), 27 (3 \times 3 \times 3), 30 (3 \times 2 \times 5)$

يمكننا رؤية أن هناك 5 أعداد إضافية تحتوي على أكثر من عامل واحد 3. لذا، إجمالا، هناك $10 + 5 = 15$ عدداً يحتوي على عامل 3.

الآن، يمكننا حساب أكبر عدد صحيح $k$ بحيث $3^k$ يكون عاملاً لـ $p$ باستخدام القانون التالي:

$k = \text{عدد الأعداد الكلي} – \text{عدد الأعداد الفردية} + \text{عدد الأعداد التي تحتوي على مزيد من عوامل 3}$

$k = 32 – 10 + 5$

$k = 27$

إذاً، أكبر عدد صحيح $k$ هو 27.