حساب أكبر عدد صحيح لعامل 3 في حاصل ضرب الأعداد من 1 إلى 30

إذا كان $p$ هو حاصل ضرب الأعداد الصحيحة من 1 إلى 30 بما في ذلك 30، فما هو أكبر عدد صحيح $k$ بحيث يكون $3^k$ عاملًا لـ $p$؟

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى فهم كيفية تكوين $p$ وكيفية تأثير أعداد 3 في تكوينه.

أولاً، لنحسب $p$، نقوم بضرب الأعداد من 1 إلى 30:
$p = 1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times 30$

الآن، نركز على عدد 3. يمكننا أن نرى أنه يظهر في عدة مرات في تكوين $p$، بمعنى آخر، 3 هو عامل في $p$.

لنعرف عدد المرات التي يظهر فيها 3، نحتاج إلى حساب عدد الأعداد التي تحتوي على عامل 3 والتي تظهر في تكوين $p$. نعلم أن 3 ، 6 ، 9 ، 12 ، … وهكذا هي الأعداد التي تحتوي على عامل 3.

لكن هناك شيئًا آخر يجب أن نأخذه في اعتبارنا، وهو أن 3 مرفوعة للأس 2 تظهر مرتين في تكوين هذه الأعداد (مثل 9 = $3^2$ و 12 = $2 \times 3^2$)، و3 مرفوعة للأس 3 تظهر ثلاث مرات (مثل 27 = $3^3$ و 12 = $2 \times 3^3$)، وهكذا.

إذاً، نحتاج إلى حساب مجموع الأعداد التي تحتوي على عامل 3 مع احتساب أعداد الأس التي تظهر.

$k = \left\lfloor \frac{30}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{30}{3^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{30}{3^3} \right\rfloor + \ldots$

حيث $\left\lfloor x \right\rfloor$ هو أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي $x$.

بمجرد حساب هذه القيم، سنحصل على القيمة النهائية لـ $k$، وهي أكبر قيمة صحيحة يمكن أن تكون 3 مرفوعة للأس لها عامل في $p$.

لحل هذه المسألة، نستخدم فكرة الأعداد الأولية والأسس ونطبق القوانين التي تتعلق بتحليل الأعداد إلى عواملها الأولية.

أولاً، لنحسب $p$ الذي هو حاصل ضرب الأعداد من 1 إلى 30:
$p = 1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times 30$

الآن، لنحسب كم مرة يظهر عامل 3 في تكوين $p$. نستخدم القاعدة التي تقول إن الأعداد التي تقسم بـ 3 تضيف عاملاً واحدًا، لكن الأعداد التي تقسم بـ $3^2$ تضيف عاملين، والأعداد التي تقسم بـ $3^3$ تضيف ثلاثة عوامل، وهكذا.

$k = \left\lfloor \frac{30}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{30}{3^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{30}{3^3} \right\rfloor + \ldots$

حيث نستخدم القوانين التالية:

1. قاعدة عدم التكرار: نحتسب كم مرة يظهر عامل 3، ثم نحسب كم مرة يظهر عامل $3^2$ مع استبعاد الأعداد التي تمثلت بالفعل في العامل الأول.
2. الجزاء: نحسب مرات ظهور كل عامل بشكل منفصل ونجمعها في النهاية.

قم بحساب القيم المتكررة بشكل تدريجي. على سبيل المثال:
$\left\lfloor \frac{30}{3} \right\rfloor = 10$
$\left\lfloor \frac{30}{3^2} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{10}{3} \right\rfloor = 3$
$\left\lfloor \frac{30}{3^3} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{3}{3} \right\rfloor = 1$

ثم نجمع هذه القيم:
$k = 10 + 3 + 1 = 14$

إذاً، أكبر عدد صحيح $k$ هو 14. هذا يعني أن $3^{14}$ هو أكبر عامل يظهر في تكوين $p$.