مسائل رياضيات

حساب أكبر عدد صحيح لعامل 2

المطلوب هو حساب أكبر عدد صحيح kk بحيث يكون 2k2^k عاملًا للعدد nn، حيث nn هو حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة من 5 إلى 20 بما في ذلك هذه القيمتين.

لحل هذه المشكلة، يمكننا البدء بحساب حاصل الضرب nn. سنقوم بضرب كل عدد في النطاق من 5 إلى 20:

n=5×6×7×8×9×10×11×12×13×14×15×16×17×18×19×20n = 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times 10 \times 11 \times 12 \times 13 \times 14 \times 15 \times 16 \times 17 \times 18 \times 19 \times 20

بعد حساب هذا الحاصل، سنقوم بتحليل عدد nn لمعرفة كيفية حساب أكبر عدد صحيح kk حتى يكون 2k2^k عاملًا له. سنقوم بفحص عدد مرات ظهور عامل 2 في تحليل عدد nn باستخدام القواسم:

n=2a×other factorsn = 2^a \times \text{other factors}

حيث aa هو العدد الذي يمثل مرات ظهور العامل 2 في تحليل عدد nn. الهدف هو حساب أكبر قيمة لـ aa.

نبدأ بتحليل عدد nn وحساب مرات ظهور العامل 2 في هذا التحليل. يمكننا أن نستخدم تقنية القسمة المتكررة لتحديد كم مرة يمكن قسم nn على 2:

n=21×(some odd number)n = 2^1 \times (\text{some odd number})

هنا، a=1a = 1 هو عدد مرات ظهور العامل 2. الآن نقوم بمواصلة عملية القسم على العدد الفردي الذي حصلنا عليه:

(some odd number)=20×(some odd number)(\text{some odd number}) = 2^0 \times (\text{some odd number})

هنا، a=0a = 0، لأن العدد الفردي لا يحتوي على عامل 2. نكرر العملية:

(some odd number)=20×(some odd number)(\text{some odd number}) = 2^0 \times (\text{some odd number})

وهكذا نستمر حتى نصل إلى نهاية عملية القسم. القاعدة العامة هي أننا نضيف جميع الأعداد aa التي حصلنا عليها في كل عملية:

k=a1+a2++ank = a_1 + a_2 + \ldots + a_n

بتطبيق هذه الخطوات، نستطيع حساب أكبر عدد صحيح kk حتى يكون 2k2^k عاملًا للعدد nn.

المزيد من المعلومات

لحل هذه المسألة، سنقوم بتفصيل الخطوات والقوانين المستخدمة:

  1. حساب حاصل الضرب nn:
    n=5×6×7×8×9×10×11×12×13×14×15×16×17×18×19×20n = 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times 10 \times 11 \times 12 \times 13 \times 14 \times 15 \times 16 \times 17 \times 18 \times 19 \times 20

  2. تحليل عدد nn باستخدام القواسم:
    نقوم بتحليل nn للعثور على مرات ظهور العامل 2.
    n=2a×(other factors)n = 2^a \times (\text{other factors})

  3. حساب مرات ظهور العامل 2 (aa):
    نستخدم تقنية القسمة المتكررة لتحديد قيمة aa في كل عملية قسم.

    • n=21×(some odd number)n = 2^1 \times (\text{some odd number}) ، حيث a=1a = 1.
    • نقوم بالقسم على العدد الفردي للحصول على 20×(some odd number)2^0 \times (\text{some odd number}) ، حيث a=0a = 0.
    • نستمر في القسم حتى نصل إلى نهاية العملية.
  4. حساب أكبر عدد صحيح kk:
    يمكننا حساب kk عن طريق جمع جميع القيم aa التي حصلنا عليها في كل عملية قسم:
    k=a1+a2++ank = a_1 + a_2 + \ldots + a_n

القوانين المستخدمة:

  • قانون حساب الضرب: يتم استخدام قانون حساب الضرب لحساب حاصل الضرب nn بضرب جميع الأعداد في النطاق المعطى.

  • قانون القسمة المتكررة: يستخدم لتحليل عدد إلى عوامله الأولية، حيث نقوم بالقسم على العدد ونستمر في القسم حتى نحصل على عدد فردي لا يحتوي على عامل 2.

  • قانون الأسس: يتم استخدام لحساب مرات ظهور العامل 2 في تحليل عدد nn.

  • قانون الجمع: يستخدم لجمع جميع القيم aa للحصول على أكبر قيمة لـ kk.

باستخدام هذه القوانين، يمكننا حل المسألة وحساب القيمة الصحيحة لـ kk.