حساب أكبر عامل مشترك من ضرب التسلسل الأصغر (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
إذا كان GCF(a, b) يمثل أكبر عامل مشترك بين a و b، و LCM(c, d) يمثل الضرب التسلسلي الأصغر بين c و d، ما هي قيمة GCF(LCM(8, 14), LCM(7, 12))؟

حل المسألة:
لنبدأ بحساب قيمة LCM(8, 14) و LCM(7, 12) بشكل منفصل، ثم نحسب GCF بين القيمتين.

1. حساب LCM(8, 14):
   LCM(8, 14) يعني أصغر عدد صحيح يمكن أن يقسم 8 و 14 بدون باقي.

لحساب LCM(8, 14)، نبدأ بتحليل أكبر عامل مشترك بين 8 و 14. يمكننا ملاحظة أن 2 هو العامل المشترك الأكبر بينهما.

والآن نقسم 8 و 14 على العامل المشترك الأكبر (2):
8 ÷ 2 = 4
14 ÷ 2 = 7

ثم نضرب الأعداد الناتجة للحصول على الناتج:
4 × 7 = 28

لذا، LCM(8, 14) = 28.

2. حساب LCM(7, 12):
   LCM(7, 12) يعني أصغر عدد صحيح يمكن أن يقسم 7 و 12 بدون باقي.

لحساب LCM(7, 12)، نبدأ بتحليل أكبر عامل مشترك بين 7 و 12. يمكننا ملاحظة أن 1 هو العامل المشترك الأكبر بينهما، لأن 7 و 12 ليس لديهما عوامل مشتركة أخرى.

والآن نضرب الأعداد مباشرة للحصول على الناتج:
7 × 12 = 84

لذا، LCM(7, 12) = 84.

3. حساب GCF(LCM(8, 14), LCM(7, 12)):
   الآن، نحسب العامل المشترك الأكبر بين LCM(8, 14) و LCM(7, 12).

GCF(28, 84) يعني العامل المشترك الأكبر بين 28 و 84.

بما أن 28 هو عامل من 28 نفسه، فإن العامل المشترك الأكبر هو 28.

لذا، GCF(LCM(8, 14), LCM(7, 12)) = 28.

لحل المسألة واستنتاج قيمة $GCF(LCM(8, 14), LCM(7, 12))$، سنلتزم ببعض القوانين والمفاهيم الأساسية في الرياضيات:

1. الضرب التسلسلي الأصغر (LCM): هو أصغر مضاعف مشترك لعددين. يمكن حسابه عن طريق تحليل أكبر عامل مشترك بين الأعداد وضرب العوامل التي لم تتكرر في كل عدد.

2. أكبر عامل مشترك (GCF): هو أكبر عدد يقسم الأعداد المعطاة دون باقي.

الخطوات لحل المسألة:

أولاً، نحسب قيمة $LCM(8, 14)$ و $LCM(7, 12)$، ثم نحسب الـ GCF بينهما.

لحساب $LCM(8, 14)$:

يتم ذلك عن طريق تحليل الأعداد إلى عواملها الأولية واختيار العوامل التي لم تتكرر في أي عدد، ثم ضرب العوامل مع الأعداد الأصلية.

8 = 2 × 2 × 2
14 = 2 × 7

يحتوي 8 على ثلاثة عوامل 2، و14 تحتوي على عامل 7 الذي لا يتكرر.

$LCM(8, 14) = 2 × 2 × 2 × 7 = 56$.

ثانياً، لحساب $LCM(7, 12)$:

7 = 7
12 = 2 × 2 × 3

تحتوي 7 على عامل 7 الذي لا يتكرر، و 12 تحتوي على عامل 2 و 3.

$LCM(7, 12) = 2 × 2 × 3 × 7 = 84$.

الآن، نحسب GCF بين $LCM(8, 14)$ و $LCM(7, 12)$:

لحساب GCF، نحتاج إلى معرفة العوامل المشتركة بين الرقمين.

56 = 2 × 2 × 2 × 7
84 = 2 × 2 × 3 × 7

العوامل المشتركة هي 2 و 2 و 7.

$GCF(LCM(8, 14), LCM(7, 12)) = 2 × 2 × 7 = 28$.

بالتالي، قيمة $GCF(LCM(8, 14), LCM(7, 12))$ هي 28.

تم استخدام قوانين تحليل الأعداد إلى عواملها الأولية وضربها، ومفهوم العوامل المشتركة لحساب الحل في هذه المسألة الرياضية.