حساب أكبر عامل أول (مسألة رياضيات)

المسألة الحسابية التي نواجهها هي معرفة أكبر عامل أول للمجموع الناتج من جمع قيمة 11! و 12!.

نبدأ بتعريف 11! و 12! لنحسب قيمتهما. يُعبر n! عن مضاعفة جميع الأعداد الصحيحة الموجبة من 1 إلى n. لنحسب قيمة 11!:

$11! = 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

الآن، لنحسب قيمة 12!، نقوم بمضاعفة 11! بالعدد 12:

$12! = 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

ثم نقوم بجمع القيمتين للحصول على المجموع النهائي:

$11! + 12! = 11! + 12 \times 11!$

نستخدم العامل المشترك 11! كعامل مشترك في الجمع:

$11! + 12 \times 11! = 11!(1 + 12)$

الآن نحسب القيمة النهائية:

$11!(1 + 12) = 11! \times 13$

لنحدد العامل الأول الأكبر للناتج، يجب أن نعرف هيكل 11!. هكذا نفككها:

$11! = 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

نجد أن 13 هو عامل لا يظهر في هيكل 11! لأن أكبر قيمة لـ n في 11! هي 11. إذاً، العامل الأول الأكبر للمجموع 11! + 12! هو 13.

بالتالي، الإجابة النهائية هي أن أكبر عامل أول للمجموع 11! + 12! هو 13.

لحساب أكبر عامل أول للمجموع $11! + 12!$، يمكننا البداية بفحص هيكل هاتين القيمتين.

أولًا، لنقم بحساب قيمة $11!$ باستخدام قاعدة حساب العوامل (Factorial)، التي تعبر عن ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة من 1 إلى العدد المعني. في حالة $11!$:

$11! = 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

الآن، لنحسب قيمة $12!$، نقوم بمضاعفة $11!$ بالعدد 12:

$12! = 12 \times 11!$

ثم نقوم بجمع القيمتين:

$11! + 12! = 11! + 12 \times 11!$

نستخدم العامل المشترك $11!$ كعامل مشترك:

$11! + 12 \times 11! = 11!(1 + 12)$

الآن، نعرف أن العامل $11!$ هو عامل مشترك، ويمكننا تبسيط الناتج:

$11!(1 + 12) = 11! \times 13$

في هذه النقطة، نلاحظ أن 13 هو العامل الذي يظهر في الناتج والذي لا يظهر في هيكل $11!$، لأن أكبر قيمة في $11!$ هي 11.

لحسن الفهم، القوانين المستخدمة هي:

1. قاعدة حساب العوامل (Factorial Rule): حيث يتم حساب $n!$ بضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة من 1 إلى $n$.

2. التوزيع (Distribution Rule): حيث نقوم بتوزيع العامل المشترك $11!$ في الجمع $11! + 12!$ لتبسيط العبارة.

3. الجمع والضرب في العملية النهائية: حيث نقوم بجمع العوامل المشتركة والضرب في القيمة الجديدة (13) للحصول على الناتج النهائي.

باستخدام هذه القوانين، وبفحص هيكل القيمتين، تم التوصل إلى أن أكبر عامل أول للمجموع $11! + 12!$ هو 13.