حساب أقل طول للقطعة XZ في مثلث قائم الزاوية (مسألة رياضيات)

في مثلث $PQR$، حيث الزاوية $Q = 90$ درجة، و$PQ = 4$ سم، و$QR = 8$ سم، يتحرك النقطة $X$ على الضلع $PQ$. الخط الذي يمر عبر $X$ ويكون متوازيًا لـ $QR$ يقاطع $PR$ في النقطة $Y$. والخط الذي يمر عبر $Y$ ويكون متوازيًا لـ $PQ$ يقاطع $QR$ في النقطة $Z$.

لحساب الطول الأدنى للقطعة $XZ$، يجب أولاً مراعاة أن الزاوية $Q$ قائمة. نلاحظ أن $QR$ يمثل الارتفاع للمثلث القائم الزاوية $PQR$. ونعلم أن الخطوة الأولى في حساب مسافة $XZ$ الأدنى هي الحصول على نقطة $Y$ بحيث يكون مستطيل الذي يشكله $PQRY$ هو المستطيل ذو المحيط الأدنى.

نعلم أن المستطيل ذو المحيط الأدنى هو مربع. لذلك، لتحقيق ذلك، يجب أن يكون $PQ = QR$. وبما أن $QR = 8$ سم، يجب أن يكون $PQ$ أيضًا 8 سم.

الآن، بما أن $PQ = QR$، فإن المثلث $PQR$ هو مثلث متساوي الساقين، وبالتالي الزاوية $P$ تكون أيضًا قائمة. يمكننا استخدام طريقة فيثاغورث لحساب طول الضلع الثالث $PR$.

الآن، بعد أن حصلنا على طول $PR$، يمكننا استخدامه لحساب طول $XZ$. نعلم أن $XZ = QR – YZ$. يمكننا حساب طول الضلع $YZ$ باستخدام التناسب بين المثلثين المتشابهين $PQY$ و $QYZ$.

الآن، يمكننا حساب طول $XZ$.

إذاً، الطول الأدنى للقطعة $XZ$ هو $8 – 4\sqrt{2}$ سم.

لحل هذه المسألة، سنستخدم العديد من القوانين الهندسية، بما في ذلك قانون فيثاغورث وتشابه المثلثين. دعونا نقسم الحل إلى خطوات لفهم أفضل:

الخطوة 1: إيجاد نقطة $Y$ لتكون قاعدة للمستطيل $PQRY$:
لتحقيق المستطيل ذو المحيط الأدنى، يجب أن يكون $PQ = QR$. وبما أن $QR = 8$ سم، فإن $PQ$ أيضًا يجب أن يكون 8 سم.

الخطوة 2: حساب طول الضلع $PR$ باستخدام فيثاغورث:
بما أن المثلث $PQR$ هو مثلث قائم الزاوية، يمكننا استخدام قانون فيثاغورث لحساب طول الضلع الثالث $PR$:

$PR = \sqrt{PQ^2 + QR^2} = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2} \, \text{سم}$

الخطوة 3: حساب طول الضلع $YZ$ باستخدام تشابه المثلثين:
نستخدم تشابه المثلثين بين $PQY$ و $QYZ$ لحساب طول الضلع $YZ$. نعلم أن نسبة طول الضلعين المتشابهين تكون متساوية لنسبة الضلعين الآخرين.

$\frac{YZ}{PQ} = \frac{QZ}{QR}$

$\frac{YZ}{8} = \frac{YZ}{8\sqrt{2}}$

$YZ = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \, \text{سم}$

الخطوة 4: حساب طول القطعة $XZ$:
نعلم أن $XZ = QR – YZ$. ببساطة نطرح طول $YZ$ من $QR$ للحصول على طول $XZ$:

$XZ = QR – YZ = 8 – 4\sqrt{2} \, \text{سم}$

القوانين المستخدمة:

1. قانون فيثاغورث: يُستخدم لحساب طول ضلع في مثلث قائم الزاوية.
2. تشابه المثلثين: يُستخدم لحساب أطوال الضلعين المتشابهين باستخدام نسب طول الضلعين في مثلثين متشابهين.

هذه القوانين تساعد في تحليل المثلث وحساب أطوال الأضلاع بشكل دقيق وفعال.