حساب أقصى قيمة لخمسة أعداد معلومة

المتوسط الحسابي لخمسة أعداد صحيحة إيجابية هو 60، والفارق بين أكبر عدد وأصغر عدد من هذه الأعداد هو 10. ما هو القيمة القصوى الممكنة لأكبر هذه الأعداد الخمس؟

لنقم بتمثيل الأعداد الخمسة بشكل عام كـ a، b، c، d، و e. حيث a يمثل الأصغر و e يمثل الأكبر. نعلم أن a، b، c، d، و e هي أعداد صحيحة إيجابية وأن:

$\text{متوسط الأعداد} = \frac{a + b + c + d + e}{5} = 60$

من هذا، يمكننا كتابة المعادلة:

$a + b + c + d + e = 300$

الآن، نعلم أن الفارق بين الأكبر والأصغر هو 10:

$e – a = 10$

نحن الآن بحاجة للعثور على أكبر قيمة ممكنة لـ e. لنقم بإيجاد حدود على الأصغر a والأكبر e.

أقل قيمة ممكنة لـ a هي 1 (لأنها أعداد صحيحة إيجابية)، لذا أصغر قيمة لـ e هي:

$e = a + 10 = 1 + 10 = 11$

الآن نحن بحاجة إلى زيادة قيمة e. لكننا نعلم أن مجموع الأعداد هو 300، لذا نقوم بتخفيض قيمة a بمقدار 1 وزيادة قيمة e بمقدار 1. هذا لا يؤثر على المجموع:

$(a – 1) + b + c + d + (e + 1) = 300$

نستخدم هذه المعادلة لتحديد أكبر قيمة ممكنة لـ e. نكرر هذه الخطوة حتى نصل إلى أصغر قيمة ممكنة لـ a:

$(a – 2) + b + c + d + (e + 2) = 300$

نستمر في هذا النهج حتى نحصل على أكبر قيمة ممكنة لـ e. الآن، نقوم بحساب قيمة e:

$e = (أكبر قيمة ممكنة لـ e) + 10$

وبذلك نحصل على القيمة القصوى الممكنة لأكبر عدد في هذه السلسلة.

لنقم بفهم المسألة وحلها بمزيد من التفاصيل، يمكننا بدايةً الإشارة إلى القوانين والمفاهيم الرياضية التي سنستخدمها في الحل:

1. متوسط الأعداد:
   يُمثل متوسط مجموع مجموعة من الأعداد على عددها. في هذه الحالة، يُمكننا استخدام متوسط الأعداد للعثور على المجموع الإجمالي للخمسة أعداد.

2. العلاقة بين المتوسط والمجموع:
   إذا كان متوسط مجموعة من الأعداد هو $X$، فإن مجموع هذه الأعداد يكون $5 \times X$.

3. الفارق بين الأكبر والأصغر:
   الفارق بين العددين الأكبر والأصغر يُمثل الفرق بين قيمتيهما.

الآن، دعونا نبدأ في حل المسألة:

لدينا خمسة أعداد، ونريد العثور على القيمة القصوى للعدد الأكبر (الذي نعبر عنه بـ $e$). قد نفترض أن الأعداد تتبع تسلسلًا من الأصغر إلى الأكبر، ولنمثلها بالترتيب كالتالي: $a$, $b$, $c$, $d$, و $e$.

نستخدم متوسط الأعداد:
$\frac{a + b + c + d + e}{5} = 60$

نضرب الطرفين في 5 للتخلص من المقام:
$a + b + c + d + e = 300$

الآن، نعلم أن الفارق بين الأكبر والأصغر يساوي 10:
$e – a = 10$

نحاول العثور على قيمة $e$ باستخدام المعادلة السابقة:
$e = a + 10$

لكن هذا ليس القيمة النهائية لـ $e$، بل نحتاج إلى تحديد القيمة القصوى لـ $e$. يمكننا فعل ذلك عن طريق تحديد الحد الأدنى للأصغر قيمة لـ $a$ والحد الأقصى لأكبر قيمة لـ $e$.

نستخدم المعادلة الرئيسية:
$a + b + c + d + e = 300$

لنقم بتحديد الحد الأدنى لـ $a$، نقوم بتخفيض قيمة $a$ إلى الحد الأقصى (ونزيد قيمة $e$ بنفس القدر)، وذلك بحيث يبقى المجموع كما هو. نفعل هذا حتى نصل إلى قيمة $a$ الأدنى الممكنة.

نكرر هذه العملية حتى نصل إلى القيمة النهائية لـ $e$، ونحسبها باستخدام المعادلة:
$e = (أكبر قيمة ممكنة لـ e) + 10$

بهذا الشكل، يمكننا تحديد القيمة القصوى للعدد الأكبر في السلسلة.