حساب أقصى حجم للأسطوانة في صندوق مستطيل (مسألة رياضيات)

الصندوق المستطيل مقاسه 6 أقدام في 8 أقدام في 10 أقدام. يرغب في صنع خزان غاز أسطواني للشحن داخل الصندوق، والذي سيكون منتصبًا عندما يتم وضع الصندوق على واحدة من وجوهه الستة. ما هو نصف قطر الخزان إذا كان يجب أن يكون له أكبر حجم ممكن؟

لنقم بحساب حجم الأسطوانة بناءً على الشروط المعطاة. حجم الأسطوانة يُعبر عنه بالمعادلة:

$V = \pi r^2 h$

حيث $V$ هو حجم الأسطوانة، $\pi$ هو ثابت النسبة بين محيط الدائرة وقطرها (تقريباً 3.14159)، $r$ هو نصف قطر الأسطوانة، و $h$ هو ارتفاع الأسطوانة.

مع الشروط المحددة للصندوق، نحن نعلم أن الأسطوانة يجب أن تكون منتصبة داخل الصندوق، لذا ارتفاع الأسطوانة ($h$) يكون يساوي أقل من أبعاد الصندوق. في هذه الحالة، $h$ يمكن أن يكون أقل من 6 قدم.

للحصول على أكبر حجم ممكن، نحن نريد أيضًا أن يكون نصف قطر الأسطوانة ($r$) هو أكبر ما يمكن. لتحقيق ذلك، يمكننا تحديد قيمة $r$ عند حدود الشروط المحددة. يعتبر أقصى ارتفاع ($h$) يمكن أن يكون هو طول الصندوق الأصغر، أي 6 قدم. لذا يمكننا كتابة المعادلة:

$V = \pi r^2 h$

$V = \pi r^2 (6)$

للحصول على أقصى قيمة لـ $r^2$، نقوم بحساب القيمة الأقصى لـ $r$:

$r^2 = \frac{V}{6\pi}$

$r = \sqrt{\frac{V}{6\pi}}$

وبما أننا نريد أكبر حجم ممكن، يجب أن نجعل $r$ أكبر قدر ممكن. لكن يرجى ملاحظة أن $r$ يجب أن يكون أقل من نصف عرض الصندوق الأكبر، أي 8 أقدام. لذا يجب علينا أن نأخذ الحد الأدنى بين هاتين القيمتين.

$r = \min\left(8, \sqrt{\frac{V}{6\pi}}\right)$

تمامًا، لقد قمنا بتحديد القيمة المثلى لنصف قطر الأسطوانة ($r$) بناءً على شروط الصندوق والحجم الأقصى.

سنقوم الآن بتوضيح المزيد من التفاصيل حول حل المسألة وسنشرح القوانين والمفاهيم التي تم استخدامها في الحل.

لحساب حجم الأسطوانة ($V$)، استخدمنا الصيغة الرياضية لحجم الأسطوانة:

$V = \pi r^2 h$

حيث:

• $V$ هو حجم الأسطوانة.
• $\pi$ هو ثابت النسبة بين محيط الدائرة وقطرها (تقريباً 3.14159).
• $r$ هو نصف قطر الأسطوانة.
• $h$ هو ارتفاع الأسطوانة.

مع الشروط المحددة للصندوق، حيث يجب أن يكون الأسطوانة منتصبة داخل الصندوق، فإن ارتفاع الأسطوانة ($h$) يكون أقل من أبعاد الصندوق. في هذه الحالة، استخدمنا أقل قيمة بين الأبعاد الثلاث للصندوق كارتفاع للأسطوانة ($h$)، والتي هي 6 قدم.

$h = \min(6, \min(8, 10)) = 6 \, \text{قدم}$

لتحقيق أكبر حجم ممكن، كما ذكرنا في الحل السابق، نرغب أيضًا في جعل نصف قطر الأسطوانة ($r$) هو أكبر ما يمكن. لذا قمنا بتحديد قيمة $r$ عند حدود الشروط المحددة.

$r = \sqrt{\frac{V}{6\pi}}$

لحساب أقصى قيمة لـ $r$:
$r = \sqrt{\frac{V}{6\pi}}$

وأخذنا الحد الأدنى بين القيمة المحسوبة لـ $r$ ونصف عرض الصندوق الأكبر (8 قدم) لضمان أن الأسطوانة ستناسب داخل الصندوق.

$r = \min\left(8, \sqrt{\frac{V}{6\pi}}\right)$

بهذا الشكل، تم استخدام مفهوم الأقل بين القيم (min) لتحديد الحد الأدنى بين القيم المتوفرة والتي تحقق الشروط المحددة.