المسألة الرياضية هي: “ما هو أصغر عدد صحيح $n$، أكبر من 1، بحيث تكون $n^{-1} \pmod{1050}$ معرفة؟”
الحل:
لحساب $n^{-1} \pmod{1050}$، نحتاج إلى أن يكون $n$ و $1050$ أولاً وثانياً متوازيين أو متبادلين أوليين. يعني هذا أن $n$ يجب أن لا يكون مضاعفًا لأي عامل أول مشترك مع $1050$.
نبدأ بتحليل عاملي $1050$:
نرى أن عاملي 1050 هما 2 و 7، ولكن العدد المطلوب يجب أن يكون أكبر من 1، لذلك نستبعد 2. إذاً، نحاول العثور على أول عدد صحيح غير مضاعف لـ 7 بعد 1.
نجد أن العدد 8 هو أصغر عدد يتناسب مع هذا الشرط، لأن 8 ليس مضاعفًا لعامل أولي مع 1050. لذا، الحل للمسألة هو $n = 8$.
المزيد من المعلومات
لحل هذه المسألة، نحتاج إلى فهم الخصائص التي يجب أن يحققها العدد $n$ لكي يكون لدينا $n^{-1} \pmod{1050}$.
أولاً وقبل كل شيء، نحتاج إلى تحليل عوامل الرقم 1050. العوامل الأولية لـ 1050 هي 2 و 3 و 5 و 7. إذاً، القاعدة الأولى هي أن $n$ يجب أن يكون غير مضاعف لأي من هذه الأعداد الأولية.
القاعدة الثانية هي أننا نبحث عن أصغر $n$ يحقق هذا الشرط. يبدو أن 8 هو أصغر عدد يتناسب مع القاعدة الأولى، لأنه ليس مضاعفًا لأي عامل أولي من عوامل 1050.
القاعدة الثالثة هي تحديد القيمة المعكوسة (العكسية) لـ $n \pmod{1050}$. يتوقع أن تكون القيمة المعكوسة لـ $n$ موجودة إذا كان $n$ متبادلاً أولياً مع 1050. يمكننا استخدام خوارزمية موس شرط إيجاد العكسية. في هذه الحالة، يمكننا أيضًا استخدام خاصية متبادلية الأعداد الأولية لحساب القيمة المعكوسة.
القاعدة الرابعة هي التحقق من صحة الحل. يمكن تحقق صحة الحل بتجربة قيمة $n^{-1} \pmod{1050}$ للتأكد من أنها تتوافق مع القاعدة الثالثة.
باختصار، في هذا الحل، استخدمنا فهم عوامل الرقم 1050، والتحقق من أن $n$ غير مضاعف لأي من هذه العوامل، ثم استخدمنا خوارزمية لحساب العكسية بناءً على متبادلية الأعداد الأولية، وأخيرًا قمنا بالتحقق من صحة الحل.