حساب أدنى قيمة لـ x في f(f(x)) (مسألة رياضيات)

الدالة المعطاة: $f(x) = \sqrt{x – 3}$

نبحث عن أصغر عدد حقيقي $x$ يندرج ضمن نطاق الدالة $f(f(x))$.

لحساب ذلك، نبدأ بحساب $f(x)$ ثم نستخدم النتيجة لحساب $f(f(x))$:

1. حساب $f(x)$:

$f(x) = \sqrt{x – 3}$

2. حساب $f(f(x))$:

$f(f(x)) = f(\sqrt{x – 3}) = \sqrt{\sqrt{x – 3} – 3}$

الآن، نضع قيمة $f(x)$ في $f(f(x))$ ونحسب النتيجة:

$\sqrt{\sqrt{x – 3} – 3}$

نقوم بتحليل هذه الوظيفة للعثور على أصغر قيمة ممكنة لـ $x$. يجب أن تكون القيمة داخل الجذر الخارجي غير سالبة:

$\sqrt{x – 3} – 3 \geq 0$

نضيف $3$ إلى الجانبين:

$\sqrt{x – 3} \geq 3$

ثم نرفع كل طرف إلى الأساس $2$:

$x – 3 \geq 9$

نضيف $3$ إلى الجانبين:

$x \geq 12$

لذا، أصغر عدد حقيقي يمكن أن يكون داخل نطاق $f(f(x))$ هو $x \geq 12$.

بمعنى آخر، أصغر قيمة ممكنة لـ $x$ تكون $x = 12$.

نعود إلى المسألة ونقوم بحساب $f(x)$ ثم $f(f(x))$:

1. حساب $f(x)$:

$f(x) = \sqrt{x – 3}$

نطبق قاعدة أساسية للجذور حيث يجب أن تكون قيمة التعبير داخل الجذر موجبة أو تساوي الصفر:

$x – 3 \geq 0$

$x \geq 3$

لذا، نطبق هذه القاعدة للتأكد من أن $x$ يندرج ضمن نطاق الدالة $f(x)$، وهو $x \geq 3$.

2. حساب $f(f(x))$:

$f(f(x)) = f(\sqrt{x – 3}) = \sqrt{\sqrt{x – 3} – 3}$

لتحديد النطاق الممكن لـ $x$ في $f(f(x))$، نستخدم القاعدة التي تفرض أن القيمة داخل الجذر الخارجي يجب أن تكون غير سالبة:

$\sqrt{x – 3} – 3 \geq 0$

نضيف $3$ إلى الجانبين:

$\sqrt{x – 3} \geq 3$

ثم نرفع كل طرف إلى الأساس $2$:

$x – 3 \geq 9$

نضيف $3$ إلى الجانبين:

$x \geq 12$

لذا، يجب أن يكون $x \geq 12$ لكي يندرج ضمن نطاق $f(f(x))$.

للتأكد من أن $x$ في الواقع يندرج ضمن نطاق كلا الدالتين، نجمع متطلباتهما:

$x \geq 3$ (من نطاق $f(x)$)

$x \geq 12$ (من نطاق $f(f(x))$)

لذا، يجب أن يكون $x \geq 12$ لضمان أن $x$ يكون في نطاق كلتا الدالتين.

قوانين استخدمناها:

1. قوانين الجذور:

   • قيمة التعبير داخل الجذر يجب أن تكون غير سالبة.
   • جذر رقم حقيقي يكون غير سالب.

2. القاعدة الأساسية للجذور:

   • إذا كان $a^2 = b$، فإن $a = \sqrt{b}$ أو $a = -\sqrt{b}$.

3. قوانين المعادلات:

   • يمكن إضافة أو طرح نفس القيمة من الطرفين دون تأثير على حلول المعادلة.

4. قوانين النطاق:

   • للدوال التي تحتوي على جذور، يجب مراعاة نطاق القيم التي يمكن أن تكون داخل الجذور.