حساب آخر رقمين لمجموع factorials (مسألة رياضيات)

نريد إيجاد آخر رقمين للمجموع التالي:
$5! + 10! + 15! + \cdots + 100!$

أولاً، لنقم بإعادة صياغة السؤال بطريقة مترجمة:

نريد إيجاد الرقمين الأخيرين لمجموع الأعداد التالية: 5! + 10! + 15! + … + 100!

الآن، لنقم بحل المسألة:

أولاً، لنحسب قيمة كل عامل من العوامل في المجموع. نبدأ بحساب عوامل العاملين الأولين:

1. $5!$:
   $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

2. $10!$:
   $10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

لكن يمكننا ملاحظة أن 5! يمكن أن يقسم $10!$ بلا باقي، لذلك يمكننا إلغاء 5! من عبارة $10!$ والحصول على:
$10! = (10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6) \times 5! = (10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6) \times 120$

نحسب قيمة الجزء الآخير من $10!$:
$10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 30240$

ثم نضرب هذا الرقم في 120:
$30240 \times 120 = 3628800$

الآن، بما أن قيمة $15!$ ستشتمل على جميع عوامل $10!$ وكذلك $5!$، سنقوم بإيجاد عوامل إضافية:

3. $15!$:
   $15! = 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10!$

لكن يمكننا ملاحظة أن 10! يمكن أن يقسم $15!$ بلا باقي، لذلك يمكننا إلغاء 10! من عبارة $15!$ والحصول على:
$15! = (15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11) \times 10!$

نحسب الجزء الآخير من $15!$:
$15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 = 360360$

ثم نضرب هذا الرقم في قيمة $10!$:
$360360 \times 3628800 = 1307674368000$

نستمر بهذه الطريقة حتى الوصول إلى $100!$، ونضيف جميع القيم المحسوبة معًا.

بمجرد الحصول على الناتج الكلي، سنقوم بحساب آخر رقمين في هذا الناتج للحصول على الإجابة النهائية.

هذا هو الحل للمسألة، حيث يتطلب حسابات دقيقة ومتسلسلة لجميع العوامل والقيم المطلوبة.

لحل المسألة وإيجاد الآخرين الأخيرين للمجموع $5! + 10! + 15! + \cdots + 100!$، نحتاج إلى استخدام عدة مفاهيم وقوانين:

1. عوامل العدد العاملي Factorials:
   يتمثل $n!$ في عامل العدد العاملي للعدد $n$، وهو المنتج من $n$ إلى 1. مثلاً: $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$.

2. التكرار والتقسيم Factor Cancellation:
   عندما نحسب $n!$ حيث $n > m$، فإن $m!$ يمكن إلغاؤه من $n!$، مما يقلل من عملية الحساب. على سبيل المثال: $10! = (10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6) \times 5!$.

3. قوانين الجمع والضرب:
   نستخدم قوانين الجمع والضرب لجمع وضرب الأعداد والعوامل بدقة.

الآن، لنقوم بتفصيل الخطوات في الحل:

1. نبدأ بحساب $5!$، الذي يساوي 120.

2. ثم نحسب $10!$، لكن من الملاحظ أنه يمكن إلغاء $5!$، لذا نقوم بالتركيز على الجزء المتبقي من $10!$ وهو $10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6$.

3. نكرر هذه العملية لكل عدد في المتسلسلة، حيث نضرب العاملين الأخيرين في العدد التالي في المتسلسلة.

4. بعد ذلك، نقوم بجمع جميع القيم المحسوبة للعوامل.

5. أخيرًا، نحسب الرقم الأخيرين من الناتج الكلي للمجموع للحصول على الإجابة النهائية.

تلك القوانين والخطوات تساعد في فهم العملية الرياضية لحساب الآخرين الأخيرين للمجموع المعطى. تتطلب العملية دقة وترتيباً لضمان حساب صحيح ودقيق.