حركة الكرة والارتدادات الرأسية (مسألة رياضيات)

عندما يتم إسقاط الكرة من ارتفاع 10 أقدام وتعود دائمًا لأعلى بنصف المسافة التي سقطت بها للتو، فكم من الوقت ستصل الكرة لأول مرة إلى ارتفاع أقل من قدم واحد؟

لنقم بتحليل الحالة: في كل مرة ترتد الكرة، يصل ارتفاعها إلى نصف الارتفاع السابق. بالتالي، بعد الارتداد الأول، سيكون ارتفاع الكرة هو 10 / 2 = 5 أقدام.

بعد الارتداد الثاني، سيكون الارتفاع هو 5 / 2 = 2.5 أقدام.

بعد الارتداد الثالث، سيكون الارتفاع هو 2.5 / 2 = 1.25 أقدام.

وهكذا نرى أن ارتفاع الكرة يقل في كل مرة ترتد فيها.

الآن، نحتاج إلى معرفة كم من الوقت ستستغرق الكرة لتصل إلى ارتفاع أقل من قدم واحد.

نقوم بإجراء العمليات الحسابية:

10 / 2 = 5
5 / 2 = 2.5
2.5 / 2 = 1.25
1.25 / 2 = 0.625

يظهر لنا أن الكرة ستصل إلى ارتفاع أقل من قدم واحد بعد الارتداد الرابع.

إذاً، يحتاج الكرة إلى أربع ارتدادات لتصل إلى ارتفاع أقل من قدم واحد.

لحل هذه المسألة، سنستخدم المفهوم الفيزيائي لحركة الكرة وتأثير الجاذبية عليها. سنقوم بتطبيق قوانين الحركة والاستنتاج للوقت الذي تستغرقه الكرة لتصل إلى ارتفاع أقل من قدم واحد.

أولاً، لنستخدم القانون الأساسي للحركة في الاتجاه الرأسي:
$s = ut + \frac{1}{2}gt^2$

حيث:

• $s$ هو المسافة المقطوعة (في هذه الحالة، الارتفاع).
• $u$ هو السرعة الابتدائية (في هذه الحالة، السرعة الابتدائية تساوي صفر لأن الكرة تسقط من السكون).
• $g$ هو تسارع الجاذبية، الذي يعادل 32 قدم/ثانية² تقريباً.
• $t$ هو الزمن.

لكن قبل أن نستخدم هذه الصيغة، نحتاج إلى معرفة كيف تتغير المسافة بعد كل ارتداد. نعلم أنها تتغير بمعدل نصف القيمة السابقة.

لذا، إذا كان $h_0$ هو الارتفاع الأول (المبدئي)، فإن الارتفاع بعد الارتداد الأول سيكون $\frac{1}{2}h_0$، وبعد الارتداد الثاني سيكون $\frac{1}{2}(\frac{1}{2}h_0)$، وهكذا.

الآن، سنبدأ بحساب الزمن الذي تستغرقه الكرة لتصل إلى ارتفاع أقل من قدم واحد.

سنفترض $h_0 = 10$ قدم (الارتفاع الأول).

بعد الارتداد الأول:
$h_1 = \frac{1}{2}h_0 = \frac{1}{2} \times 10 = 5$

الآن نحتاج إلى حساب الزمن اللازم للكرة لتصل إلى هذا الارتفاع. سنستخدم الصيغة التي ذكرتها:

$s = ut + \frac{1}{2}gt^2$

لكن $u = 0$ لأن الكرة تبدأ من السكون، لذا يصبح المعادلة:
$5 = \frac{1}{2}gt^2$

حيث $g = 32$ قدم/ثانية².
يمكننا حل هذه المعادلة للحصول على الزمن $t_1$ الذي يستغرقه الكرة لتصل إلى ارتفاع 5 قدم.

$5 = \frac{1}{2} \times 32 \times t_1^2$
$t_1^2 = \frac{5 \times 2}{32}$
$t_1^2 = \frac{5}{16}$
$t_1 = \sqrt{\frac{5}{16}} = \frac{\sqrt{5}}{4}$

الآن بعد الارتداد الثاني:
$h_2 = \frac{1}{2}h_1 = \frac{1}{2} \times 5 = 2.5$

سنقوم بحساب الزمن $t_2$ اللازم للوصول إلى هذا الارتفاع بنفس الطريقة.

$2.5 = \frac{1}{2} \times 32 \times t_2^2$
$t_2^2 = \frac{2.5 \times 2}{32}$
$t_2^2 = \frac{5}{32}$
$t_2 = \sqrt{\frac{5}{32}} = \frac{\sqrt{5}}{4\sqrt{2}}$

وهكذا نستمر في حساب الأوقات المتبقية لكل ارتداد، ونقارنها بالزمن الذي تستغرقه للكرة لتصل إلى ارتفاع أقل من قدم واحد.

سنجد أن الكرة ستصل إلى ارتفاع أقل من قدم واحد بعد الارتداد الرابع.