حدود القطع المثلثية: حل المسألة (مسألة رياضيات)

المسألة:
تتكون مثلثًا من قضبان خشبية بأطوال 8 و 15 و X بوصة متصلة نهاية بنهاية. يتم قطع قطع من نفس الطول الصحيح من كل من القضبان بحيث لا يمكن للقطع الثلاث المتبقية بعد القطع أن تشكل مثلثًا بعد الآن. هناك 6 بوصة في طول القطعة الصغرى التي يمكن قطعها من كل من القضبان الثلاث لجعل هذا يحدث. ما قيمة المتغير المجهول X؟

الحل:
لنقم بتحليل المثلث الأصلي بناءً على شروط تشكيل مثلث:

1. في مثلث، مجموع أطوال أي طرفين يجب أن يكون أكبر من طول الجانب الثالث.
2. نحتاج إلى تحديد أقصى طول ممكن للقطعة المقصوصة من كل قضيب بحيث يتوقف تشكيل المثلث.

القضية الرئيسية هي معرفة كيف يمكن قص الأجزاء بحيث لا يكون من الممكن تشكيل مثلث. للتوصل إلى الإجابة، لنقم بمقارنة الأطوال وتحديد الحد الأقصى للقطعة المقصوصة من كل قضيب.

القضيب طوله 8 بوصة. بما أن أقصى طول مقصوص هو 6 بوصات، فإن القطعة الباقية ستكون بطول 8 – 6 = 2 بوصة.
القضيب طوله 15 بوصة. بنفس الطريقة، سيبقى 15 – 6 = 9 بوصة بعد القص.
لتشكيل مثلث، يجب أن يكون مجموع أطوال أي طرفين أكبر من الطرف الثالث. لذا، يجب أن يكون الطول الثالث (X) أقل من مجموع الأطوال الأخرى، أي X < 2 + 9 = 11.

الآن، بالنظر إلى القضيب طوله X بوصة، يجب أن يكون 6 بوصات هو الحد الأقصى الممكن لقطع القضيب لتجنب تشكيل مثلث. لذا، X – 6 يجب أن يكون أقل من 2 + 9، أي X – 6 < 11. بمجرد حل المعادلة، نحصل على X - 6 < 11 ، وبالتالي X < 17.

إذاً، قيمة المتغير المجهول X هي أقل من 17 بوصة.

في هذه المسألة، نقوم بحلها باستخدام مفهوم الثلاثيات وقوانين هندسة المثلثات. هنا قوانين رئيسية تُستخدم في الحل:

1. قانون مقارنة الأضلاع: في مثلث، يجب أن يكون مجموع طولي أي ضلعين أطول من الضلع الثالث لتكوين مثلث صالح.

2. قانون القطعة الثالثة: إذا كانت أطوال القطع المقصوصة من الأضلاع تقل عن مجموع الأطوال المتبقية للأضلاع، فإن التشكيل الهندسي للمثلث لن يكون ممكنًا.

الآن، لنقم بتحليل المسألة بالتفصيل:

نعلم أن القطع المتبقية بطول 6 بوصات من كل قضيب لا يمكنها تشكيل مثلثًا جديدًا. بمعنى آخر، بعد قطع الأطوال البالغة 6 بوصات، يجب أن يكون الطول المتبقي من كل قضيب أقل من مجموع الأطوال الأخرى.

لنبدأ بتحليل القضيب طوله 8 بوصات:

• قطعنا 6 بوصات، لذا القطعة المتبقية هي 8 – 6 = 2 بوصات.

ثم، نحلل القضيب طوله 15 بوصة:

• بعد قطع 6 بوصات، القطعة المتبقية هي 15 – 6 = 9 بوصات.

الآن، بما أننا نريد ضمان عدم تشكيل مثلث جديد، يجب أن يكون مجموع الأطوال المتبقية أكبر من الطول المتوقع للضلع الثالث X.

لذا، نحصل على المعادلة التالية:
$2 + 9 > X$

ومن ثم، نحصل على:
$X < 11$

مع ذلك، القيمة المعطاة للطول X تقتصر فقط على الأطوال التي تمثل قضيبًا واحدًا، ولكنها يجب أن تكون أقل من 17 بوصة. لم يتم استخدام الشروط التي تشير إلى أن القضبان هي جزء من مثلث.

لذا، قيمة المتغير المجهول X تتحقق عندما يكون أقل من 11 بوصة وأقل من 17 بوصة.