حدود الدالة الرباعية وتضمين العدد 1 (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية تطلب منا إيجاد أكبر قيمة ممكنة للعدد $c$ بحيث يتضمن النطاق الدالة $f(x) = x^2 – 5x + c$ العدد $1$.

لكي يكون العدد $1$ متضمنًا في نطاق الدالة $f(x)$، يجب أن يكون هناك قيم لـ $x$ تجعل $f(x) = 1$.

نطبق هذا على الدالة $f(x) = x^2 – 5x + c$، فنحصل على المعادلة التالية:
$x^2 – 5x + c = 1$

نرتب المعادلة لنجعلها في شكل المعادلة الرباعية القياسية:
$x^2 – 5x + (c – 1) = 0$

الآن، لكي يكون لدينا حل لهذه المعادلة، يجب أن يكون لدينا قيمة موجبة للمتحول التالي:
$\Delta = b^2 – 4ac$
حيث $a = 1$، $b = -5$، و $c = (c – 1)$ في هذه الحالة.

نستخدم الصيغة العامة للحلول للمعادلة الرباعية:
$x = \frac{{-b \pm \sqrt{\Delta}}}{{2a}}$

بالتعويض في الصيغة، نحسب قيمة $\Delta$:
$\Delta = (-5)^2 – 4 \times 1 \times (c – 1)$
$= 25 – 4(c – 1)$
$= 25 – 4c + 4$
$= 29 – 4c$

الآن، نضع قيمة $\Delta$ في معادلة الحلول للمعادلة الرباعية:
$x = \frac{{-(-5) \pm \sqrt{29 – 4c}}}{{2 \times 1}}$
$= \frac{{5 \pm \sqrt{29 – 4c}}}{{2}}$

الآن، نحتاج أن نحسب الجذر التربيعي $\sqrt{29 – 4c}$ ونجعلها أكبر من أو تساوي الصفر، لأننا نريد حلاً حقيقياً.

$29 – 4c \geq 0$
$4c \leq 29$
$c \leq \frac{{29}}{4}$
$c \leq 7.25$

إذا، أكبر قيمة ممكنة لـ $c$ هي $7.25$.

بإيجاد قيمة أقل من هذا المقدار، قد يؤدي إلى عدم وجود جذور حقيقية للمعادلة، وبالتالي عدم وجود العدد $1$ في نطاق الدالة $f(x)$.

لحل المسألة وإيجاد أكبر قيمة ممكنة لـ $c$ حتى يتم تضمين العدد $1$ في نطاق الدالة $f(x) = x^2 – 5x + c$، يمكننا اتباع الخطوات التالية:

1. المعادلة الأساسية:
   نبدأ بوضع المعادلة الأساسية التي تحتوي على الشرط المطلوب، وهي $f(x) = x^2 – 5x + c = 1$.

2. تحويل المعادلة إلى شكل عام:
   نرتب المعادلة لتكون في شكل معين يسهل علينا استخدام القوانين والتقنيات الرياضية اللاحقة.

3. استخدام قاعدة الجذر التربيعي:
   نستخدم قاعدة الجذر التربيعي لحساب الجذور التربيعية للمعادلة الرباعية.

4. حساب قيمة $\Delta$:
   نستخدم قاعدة الجذر التربيعي لحساب قيمة $\Delta$، والتي تمثل التمييز في المعادلة الرباعية ($\Delta = b^2 – 4ac$).

5. تحليل القيم الممكنة لـ $c$:
   نستخدم قيمة $\Delta$ لتحديد ما إذا كانت هناك جذور حقيقية للمعادلة، وبالتالي نحدد النطاق الممكن لـ $c$.

6. اختبار الحد الأقصى لـ $c$:
   نقوم بتحديد الحد الأقصى لـ $c$ باستخدام القيم المحسوبة وضمان أن العدد $1$ متضمن في نطاق الدالة.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين الرياضية المعروفة، نستطيع حل المسألة بدقة وفعالية. في هذه الحالة، استخدمنا قوانين الجذور التربيعية والمعادلات الرباعية لحل المسألة وتحديد النطاق الممكن لـ $c$ بحيث يتم تضمين العدد $1$ في نطاق الدالة $f(x)$.