حجم الكرة: الحسابات والعلاقات (مسألة رياضيات)

مسألة الكرة تتمثل في حساب حجم الكرة بناءً على معطيات مساحتها السطحية. إذا كانت مساحة سطح الكرة معطاة بقيمة $324\pi\text{ سم}^2$، فنحتاج إلى ايجاد حجم الكرة بالسنتيمتر المكعب، مع التعبير بوحدة $\pi$.

للبداية، يتمثل العلاقة بين مساحة سطح الكرة وحجمها في العلاقة التالية:

$A = 4\pi r^2$

حيث أن $A$ هي مساحة سطح الكرة و $r$ هو شعاعها.

لكن، نحتاج أيضًا إلى الصيغة التالية لحجم الكرة:

$V = \frac{4}{3}\pi r^3$

لحساب حجم الكرة، نحتاج إلى تحديد قيمة الشعاع $r$. نقوم بحل المعادلة الأولى للعثور على $r$:

$324\pi = 4\pi r^2$

نقوم بقسمة الطرفين على $4\pi$:

$81 = r^2$

ثم نأخذ الجذر التربيعي للجانب الأيمن للمعادلة:

$r = 9$

الآن بعد أن وجدنا قيمة الشعاع، يمكننا استخدامها لحساب حجم الكرة باستخدام الصيغة الثانية:

$V = \frac{4}{3}\pi (9)^3$

$V = \frac{4}{3}\pi \times 729$

$V = 972\pi \text{ سم}^3$

إذاً، حجم الكرة هو $972\pi$ سم مكعب.

في حل هذه المسألة، نستخدم العلاقات الهندسية والرياضية المتعلقة بمساحة سطح الكرة وحجمها. القوانين والمفاهيم المستخدمة تشمل:

1. مساحة سطح الكرة:
   مساحة سطح الكرة يمكن حسابها باستخدام العلاقة:
   $A = 4\pi r^2$
   حيث $A$ هي مساحة سطح الكرة و $r$ هو شعاعها.

2. حجم الكرة:
   حجم الكرة يمكن حسابه باستخدام الصيغة:
   $V = \frac{4}{3}\pi r^3$
   حيث $V$ هو حجم الكرة و $r$ هو شعاعها.

3. العلاقة بين مساحة سطح الكرة وحجمها:
   يمكن استخدام العلاقة بين مساحة سطح الكرة وحجمها لحل المسألة. هذه العلاقة هي الأساس في الحل، وتعطينا صلة بين البيانات المعطاة في المسألة.

الخطوات التفصيلية لحل المسألة:

1. بما أن مساحة سطح الكرة معطاة بقيمة $324\pi\text{ سم}^2$، فإننا نستخدم العلاقة $A = 4\pi r^2$ لحساب قيمة الشعاع $r$.

2. نحل المعادلة للعثور على قيمة الشعاع $r$.
   $324\pi = 4\pi r^2$
   $r^2 = \frac{324\pi}{4\pi} = 81$
   $r = \sqrt{81} = 9$

3. بمجرد أن نجد قيمة الشعاع $r$، نستخدمها في الصيغة $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ لحساب حجم الكرة.
   $V = \frac{4}{3}\pi (9)^3 = \frac{4}{3}\pi \times 729 = 972\pi \text{ سم}^3$

بهذا، نحصل على حجم الكرة الذي يساوي $972\pi$ سم مكعب.