حاصل الضرب المتجهي: التعريف والحساب (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

احسب حاصل الضرب المتجهي بين $\begin{pmatrix} 5 \ 2 \ -6 \end{pmatrix}$ و $\begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 3 \end{pmatrix}.$

الحل:

لحساب حاصل الضرب المتجهي (Cross Product) بين متجهين، يمكننا استخدام الصيغة التالية:

حيث أن $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} A_1 \ A_2 \ A_3 \end{pmatrix}$ و $\mathbf{B} = \begin{pmatrix} B_1 \ B_2 \ B_3 \end{pmatrix}$.

باستخدام القيم المعطاة في المسألة:

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 5 \ 2 \ -6 \end{pmatrix}$ و $\mathbf{B} = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 3 \end{pmatrix}$

نقوم بتطبيق الصيغة:

لذا، حاصل الضرب المتجهي بين $\begin{pmatrix} 5 \ 2 \ -6 \end{pmatrix}$ و $\begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 3 \end{pmatrix}$ هو $\begin{pmatrix} 12 \ -21 \ 3 \end{pmatrix}$.

لحساب حاصل الضرب المتجهي (Cross Product) بين متجهين في الفضاء الثلاثي، نستخدم القوانين التالية:

1. صيغة حاصل الضرب المتجهي:
   لنفترض أن لدينا متجهان $\mathbf{A} = (A_1, A_2, A_3)$ و $\mathbf{B} = (B_1, B_2, B_3)$. يكون حاصل الضرب المتجهي بينهما متجهًا جديدًا يُمثله $\mathbf{A} \times \mathbf{B}$ ويُحسب كالتالي:

   $$\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \begin{pmatrix} A_2B_3 – A_3B_2 \\ A_3B_1 – A_1B_3 \\ A_1B_2 – A_2B_1 \end{pmatrix}$$

2. تطبيق الصيغة:
   نقوم بتطبيق الصيغة المذكورة أعلاه للمتجهين المعطيين في المسألة، وهما:

   $$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix} \quad \text{و} \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$$

   حيث $A_1 = 5$، $A_2 = 2$، $A_3 = -6$ و$B_1 = 1$، $B_2 = 1$، $B_3 = 3$.

3. التبسيط:
   نقوم بتبسيط التعابير الحسابية للحصول على قيم المتجه النهائية.

الآن، دعنا نقوم بتطبيق هذه الخطوات لحل المسألة:

أولاً، نحسب كل جزء من المعادلة:

ثم، نجمع هذه القيم معًا للحصول على المتجه النهائي:

هذا هو الحل الكامل للمسألة، حيث تم استخدام القوانين المذكورة أعلاه لحساب حاصل الضرب المتجهي بين المتجهين المعطيين.