جمع كسور وتبسيطها: حلقة دراسية (مسألة رياضيات)

المطلوب حساب قيمة الجمع التالي ككسر بسيط في أبسط صورة ممكنة:

$\frac{1}{1\times2} + \frac{1}{2\times3} + \frac{1}{3\times4} + \frac{1}{4\times5} + \frac{1}{5\times6}$

للحل، يمكننا أولاً كتابة الجمع بشكل أكثر تبسيطاً:

$\frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} \right)$

ثم يمكننا توحيد المقامات:

$\frac{1}{2} \left( \frac{6}{6} + \frac{2}{6} + \frac{3}{6} + \frac{4}{6} + \frac{5}{6} \right)$

$\frac{1}{2} \left( \frac{6 + 2 + 3 + 4 + 5}{6} \right)$

$\frac{1}{2} \left( \frac{20}{6} \right)$

الآن، يمكن تبسيط الكسر:

$\frac{1}{2} \times \frac{10}{3} = \frac{10}{6}$

والآن، يمكن تقسيم البسط والمقام على أكبر عامل مشترك لهما وهو 2:

$\frac{10 \div 2}{6 \div 2} = \frac{5}{3}$

لذا، قيمة الجمع المعطاة تساوي كسرًا بسيطًا يساوي ٥/٣.

لحل المسألة المعطاة، نحتاج إلى تطبيق عدة خطوات وقوانين في عملية التبسيط والحساب. سنقوم بتفصيل الخطوات والقوانين المستخدمة في الحل:

1. تمثيل المتغيرات: نقوم بتمثيل الأجزاء المختلفة في الجمع كأجزاء متسلسلة من الكسور. لدينا الكسور التالية:

   $\frac{1}{1\times2}, \frac{1}{2\times3}, \frac{1}{3\times4}, \frac{1}{4\times5}, \frac{1}{5\times6}$

2. توحيد المقامات: نحتاج إلى جعل جميع المقامات متساوية لتسهيل الجمع. في هذه الحالة، نريد جعل المقامات متساوية بحيث تكون جميعها تساوي $6$.

3. جمع الكسور: بعد توحيد المقامات، نقوم بجمع البسط للحصول على البسط النهائي.

4. تبسيط الكسر الناتج: نقوم بتبسيط الكسر الناتج إلى أبسط صورة ممكنة.

قوانين الجبر والحساب المستخدمة هي:

• ضرب الكسور: عند ضرب كسر في عدد، يتم ضرب البسط في هذا العدد.
• توحيد المقامات: نضرب كل كسر في كسر مكمل لجعل المقامات متساوية.
• جمع الكسور: يمكن جمع الكسور إذا كانت المقامات متساوية، ويتم جمع البسط.
• تبسيط الكسور: نقوم بتقسيم البسط والمقام على أكبر عامل مشترك لهما.

باستخدام هذه القوانين، نستطيع حل المسألة والوصول إلى الإجابة النهائية.