جذور معادلة درجة ثالثة: حلول وتطبيقات (مسألة رياضيات)

المعادلة الجذرية $x^3 + bx + c = 0$، حيث $b$ و $c$ أعداد عقدية، لها $5-\sqrt{2}$ كجذر ولها أيضًا جذر عددي. ما هو هذا الجذر؟

لنبدأ بإعادة صياغة المعادلة بشكل أكثر وضوحًا:
$x^3 + bx + c = 0$

الشرط الأول: $5-\sqrt{2}$ هو جذر للمعادلة. فإذا كان الجذر فعليا، فإن ناتج تعبيره المتحرك بالجذر يساوي صفر:
$5-\sqrt{2} = 0$
$5 = \sqrt{2}$
هذا تناقض، فالجذر $5-\sqrt{2}$ غير واقعي. ومن ثم، يجب أن يكون الجذر المتواجد هو $5+\sqrt{2}$.

الشرط الثاني: المعادلة لها جذرًا عدديًا. هذا يعني أن العدد الآخر الذي يحقق المعادلة هو عدد عقدي.

الآن، لنجد $b$ و $c$ باستخدام الجذر $5+\sqrt{2}$.
لدينا:

حل المعادلتين الأولى والثانية يعطينا قيمًا لـ $b$ و $c$. فلنقم بذلك.

الآن، بمجرد أن نحصل على القيم لـ $b$ و $c$، يمكننا استخدامها لحساب الجذر العددي الثاني باستخدام قاعدة حساب الجذور المكعبة.

للتوضيح، سنعتمد على الحسابات للعثور على $b$ و $c$ ومن ثم حساب الجذر العددي الثاني.

لنقم بحل المعادلات:

1. من المعادلة $5+\sqrt{2} + b = 0$، نجد قيمة $b$:
   $b = -5 – \sqrt{2}$

2. الآن، لحساب $c$، نستخدم المعادلة:

إذا، قيمة $c$ هي: $c = -130 – 67\sqrt{2}$.

الآن، لحساب الجذر العددي الثاني، يجب أن نستخدم الصيغة التالية:

حيث:
$a = 1, \quad b = -5 – \sqrt{2}, \quad c = -130 – 67\sqrt{2}$

الآن، قم بحساب الجذر العددي الثاني باستخدام هذه الصيغة.

لحل هذه المسألة، نحن بحاجة إلى استخدام عدة مفاهيم رياضية وقوانين. سنقوم بتحليل كل جزء من المسألة واستخدام القوانين المناسبة.

المعادلة المعطاة هي معادلة من الدرجة الثالثة بحسب $x$ وتأخذ الصيغة:
$x^3 + bx + c = 0$

حيث $b$ و $c$ هما أعداد رياضية (rational numbers). الجذر الذي تم توفيره في المعادلة هو $5-\sqrt{2}$ وقد ذُكر أن لدينا جذرًا آخر يجب أن يكون عدديًا.

الحل:

1. استخدام قانون الجذور المتشابهة: نعلم أنه إذا كان $5-\sqrt{2}$ جذرًا للمعادلة، فإن $5+\sqrt{2}$ أيضًا جذر لها. هذا ينبئنا أن متطابقة الجذور تسمح لنا باستخدام قانون الجذور المتشابهة.

2. استخدام قانون فييتا: قانون فييتا يتعلق بالعلاقة بين جذور المعادلة ومعاملاتها. في معادلة من الدرجة الثالثة $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$:

   • جمع جميع الجذور يعطينا $-b/a$.
   • جمع الجذور متماثلة يعطينا $-b/a$.
   • ضرب جميع الجذور يعطينا $-d/a$.

3. حساب المعاملات $b$ و $c$: باستخدام المعلومات المتاحة حول الجذور، يمكننا حساب المعاملات $b$ و $c$ بالمعادلات التالية:

   • $(5+\sqrt{2}) + (5-\sqrt{2}) + b = 0$ للحصول على $b$.
   • $(5+\sqrt{2})(5-\sqrt{2}) + b(5+\sqrt{2}) + c = 0$ للحصول على $c$.

4. استخدام قانون الجذر العددي: بعد حساب $b$ و $c$، سنقوم بحساب الجذر الثالث بواسطة قانون الجذر العددي:
   $\text{جذر عددي ثاني} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

5. التحقق من الجذر العددي: نحتاج إلى التأكد من أن الجذر الثالث هو عدد صحيح.

6. تحقق من الحل: يجب التحقق من أن الجذور المحسوبة تلبي المعادلة الأصلية.

تلخيصاً، نحل المسألة باستخدام الرياضيات الأساسية مثل قوانين الجذور وقانون فييتا، ونحسب القيم باستخدام الجذور المعطاة ومعلومات المعادلة نفسها. يُشدد على التحقق من الحل لضمان صحته.